Chủ đề này có 3 trả lời

[longvy106]

Chứng minh $a^{2}+b^{2}+ 1\geq ab+a+b$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi E. Galois: 27-04-2013 - 16:33

[Peter97]

Chứng minh $a^{2}+b^{2}+ 1\geq ab+a+b$

$\Leftrightarrow 2a^{2} + 2b^{2} + 2 - 2ab - 2a - 2b \geq 0$

$\Leftrightarrow (a-b)^{2} + (a - 1)^{2} + (b - 1)^{2} \geq 0$$\Rightarrow$ đpcm  

Dấu " = " xảy ra $\Leftrightarrow a = b = 1$

[nangcongchua]

(a -1)² $\geqslant$ 0 $\Rightarrow$ a² - 2a + 1 $\geqslant$ 0 $\Rightarrow$ a² + 1 $\geqslant$ 2a  (1)

(b - 1)²$\geqslant$ 0 $\Rightarrow$ b² - 2b + 1 $\geqslant$ 0 $\Rightarrow$ b² + 1 $\geqslant$ 2b  (2)

(a - b)²$\geqslant$ 0 $\Rightarrow$ a² - 2ab + b² $\geqslant$ 0 $\Rightarrow$ a² + b² $\geqslant$ 2ab  (3)

Cộng từng vế bđt (1), (2), (3) ta có: 2(a² + b² +1) $\geq$ 2(ab + a + b)

                                                     $\Rightarrow$ a²  + b² + 1 $\geq$ ab + a +b

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi nangcongchua: 29-04-2013 - 16:52

[NMCT]

Chứng minh $a^{2}+b^{2}+ 1\geq ab+a+b$

Áp dụng bất đẳng thức cauchy, ta có:

$a^2+1\geq 2a$

$b^2+1\geq 2b$

$a^2+b^2\geq 2ab$

Cộng vế theo vế các bất đẳng thức trên ta có đpcm

Đẳng thức xảy ra $\Leftrightarrow a=b=1$