Chủ đề này có 2 trả lời

[Strygwyr]

Tìm số dư khi chia [$(2+\sqrt{3})^{2011}$] cho $3$ với [$a$] là phần nguyên của $a$

[ilovelife]

Tìm số dư khi chia [$(2+\sqrt{3})^{2011}$] cho $3$ với [$a$] là phần nguyên của $a$

Do $2 \pm \sqrt 3$ là nghiệm $x^2-4 x+1 = 0$
nên nếu $s_ n = x_1^n + x_2^n = (2 + \sqrt 3)^n + (2-\sqrt 3)^n$

thì xét đồng dư cho 3, có: $s_{n+2}=4s_{n+1}+s_n \equiv s_{n+1} + s_n$

$\implies s_{n+3} \equiv s_{n+2}+s_{n+1} \equiv s_n - s_{n+1}$

Tương tự $s_{n+6} \equiv s_{n+3}- s_{n+4} \equiv s_{n+3} - (s_{n+3} + s_{n+2}) = - s_{n+2}$

Đến đây thì dễ rồi. (có thể mình làm hơi bị vòng vèo nhưng hướng là là như vậy)

[Strygwyr]

Do $2 \pm \sqrt 3$ là nghiệm $x^2-4 x+1 = 0$
nên nếu $s_ n = x_1^n + x_2^n = (2 + \sqrt 3)^n + (2-\sqrt 3)^n$

thì xét đồng dư cho 3, có: $s_{n+2}=4s_{n+1}+s_n \equiv s_{n+1} + s_n$

$\implies s_{n+3} \equiv s_{n+2}+s_{n+1} \equiv s_n - s_{n+1}$

Tương tự $s_{n+6} \equiv s_{n+3}- s_{n+4} \equiv s_{n+3} - (s_{n+3} + s_{n+2}) = - s_{n+2}$

Đến đây thì dễ rồi. (có thể mình làm hơi bị vòng vèo nhưng hướng là là như vậy)

có lẽ tư tưởng của bạn là đúng nhưng trình bày khá vòng vèo

Mình xin hoàn chỉnh lời giải của bạn : 

$2\pm \sqrt 3$ là nghiệm của phương trình $x^{2}-4x+1=0$

nên nếu dặt $s_ n = x_1^n + x_2^n = (2 + \sqrt 3)^n + (2-\sqrt 3)^n$ thì $s_{n+2}=4s_{n+1}-s_n$

Do đó : $s_{n+3}=4s_{n+2}-s_{n+1}$

Cộng vế theo vế ta được $s_{n+3}+s_{n}=3s_{n+2}+3s_{n+1}\vdots 3$

Vậy : $s_{2011}=s_{2011}+s_{2008}-s_{2008}-s_{2005}+...+s_1=s_{2011}+s_{2008}-s_{2008}-s_{2005}+...+1$ chia $3$ dư $1$

Đặt $s_{2011} = 3k+1$ với $k\in \mathbb{N}$

$\Rightarrow (2+\sqrt{3})^{2011}=3k+1-(2-\sqrt{3})^{2011}$

$\Rightarrow 3k<(2+\sqrt{3})^{2011}<3k+1$

$\Rightarrow [(2+\sqrt{3})^{2011}]=3k \vdots 3$ (đpcm)

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi namsub: 29-04-2013 - 17:09