Chủ đề này có 1 trả lời

[hmtri147]

Cho $\triangle ABC$ nội tiếp đường tròn (O),Ax là tiếp tuyến đường tròn (O) có 3 đường cao AD BE CF,trực tâm H ,EF cắt BC tại K.Đường thẳng qua F song song với AC cắt AK tại M và AD tại N Chứng minh rằng :

   FM=FN

 

 

[BlackSelena]

Cho $\triangle ABC$ nội tiếp đường tròn (O),Ax là tiếp tuyến đường tròn (O) có 3 đường cao AD BE CF,trực tâm H ,EF cắt BC tại K.Đường thẳng qua F song song với AC cắt AK tại M và AD tại N Chứng minh rằng :

   FM=FN

Sorry nhá mình quen dùng hình tự vẽ ^^~. Mà giả thiết $Ax$ là tiếp tuyến có vẻ thừa thì phải

Ta có:
$\dfrac{MF}{AE} = \dfrac{KF}{KE} ; \dfrac{AE}{AC} = \dfrac{FE^2}{BC^2} \cdot \dfrac{AB}{AF}$

$\Rightarrow \dfrac{MF}{AC} = \dfrac{KF}{KE} \cdot \dfrac{FE^2}{BC^2} \cdot \dfrac{AB}{AF}$

Mặt khác: $\dfrac{FN}{AC} = \dfrac{FH}{HC} = \dfrac{BF.FE}{BC.EC}$

Vậy $MF = FN \Leftrightarrow \dfrac{KF}{KE} \cdot \dfrac{FE^2}{BC^2} \cdot \dfrac{AB}{AF} = \dfrac{BF.FE}{BC.EC}$

$\Leftrightarrow \dfrac{EF}{AF} \cdot \dfrac{AB}{BC} \cdot \dfrac{KF}{KE} = \dfrac{BF}{EC}$

Mặt khác, dễ có $\dfrac{EF}{AF} = \dfrac{BC}{AC}$ nên điều phải chứng minh tương đương:
$\dfrac{AB}{AC} \cdot \dfrac{KF}{KE} = \dfrac{BF}{EC}$

Lại có $FECB:tngt$ nên theo phương tích và tam giác đồng dạng ta có $\dfrac{KF}{KC} = \dfrac{KB}{KE} = \dfrac{FB}{EC} \Rightarrow \dfrac{KF}{KE} = \dfrac{KB}{KC} \cdot \dfrac{FB^2}{EC^2}$

Điều phải chứng minh tương đương

$\dfrac{KB}{KC} \cdot \dfrac{FB}{EC} \cdot \dfrac{AB}{AC} = 1$

Lại có theo định lý Menelaus cho $\triangle ABC$ với cát tuyến $\overline{K,F,E}$, ta có:
$\dfrac{KB}{KC} = \dfrac{EC}{AE} \cdot \dfrac{AF}{FB}$

Đpcm tương đương tiếp

$\dfrac{AF}{AE} \cdot \dfrac{AB}{AC} = 1 \Leftrightarrow \dfrac{AB}{AC} = \dfrac{AE}{AF}$
Dễ  thấy được đẳng thức cuối luôn đúng do $\triangle AFE \sim \triangle ACB$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi BlackSelena: 28-04-2013 - 14:30