Bài toán: Cho $n$ là một số nguyên dương lẻ, $n\ge 5$ và có các ước số nguyên tố là $p_1,p_2,...,p_k$. Chứng minh rằng $2^{\phi (n)}-1$ có các ước số nguyên tố không thuộc tập ${p_1,p_2,...,p_k}$
Ta phát biểu lại định lý Zsigmondy :
Ch0 $a,b,n\in N$ sa0 cho(a,b)=1 và $n\geq 2$ thì tồn tại số $p$ sao cho $p$ là ước của $a^{n}+b^{n}$ mà không là ước của $a^{k}+b^{k}$ với mọi $k< n$ trừ khi $a=2,b=1,k=3$.
-----------------------------------------------------------------------------------------------
Áp dụng vào bài toán, xét 2 trường hợp :
$\star$ Nếu $n$ là 1 số nguyên tố, $\phi(n)=n-1$, giả sử ngược lại là $2^{n-1}-1$ không có ước nguyên dương ngoài $n$ lúc đó $2^{n-1}-1=n^{x}$ với $x\in \mathbb{N}^{*}$.
- Nếu $x$ là số chẵn, ta suy ra $(2^{\frac{n-1}{2}}-n^{\frac{x}{2}})(2^{\frac{n-1}{2}}+n^{\frac{x}{2}})=1$. Hay $(2^{\frac{n-1}{2}}-n^{\frac{x}{2}})=(2^{\frac{n-1}{2}}+n^{\frac{x}{2}})=1\Rightarrow n^{\frac{x}{2}}=0$ (Một điều vô lý!)
- Nếu $x$ là số chẵn thì $2^{n-1}=n^{x}+1=(n+1)\left[n^{x-1}-n^{x-2}+.....+1\right]$ suy ra $n+1$ có dạng $2^{r}$ với $r\in \mathbb{N}^{*}$ và $r<n-1$ $\Rightarrow \left\{\begin{matrix} 2^{n-1}-1=n^{x}\\ 2^{r}-1=n\end{matrix}\right.$, the0 định lý Zsigmondy dễ dàng suy ra vô lý.
Vậy nếu $n$ là snt thì $2^{n-1}-1$ có ước nguyên dương ngoài $n$.
$\star$ Nếu $n$ là hợp số, ta có thể thấy $\phi(n)>p_1-1,p_2-1,...,p_k-1$, lại the0 định lý Zsigmondy thì $2^{\phi(n)}-1$ có ước nguyên tố mà $2^{p_1-1}-1$ không có, nhưng the0 Fermat nhỏ thì $2^{p_1-1}-1\vdots p_1$ (Do $p_1$ lẻ) vậy nên $2^{\phi(n)}-1$
có ước nguyên dương khác $p_1$. Cứ tương tự như vậy ta rút ra $2^{\phi(n)}-1$
có ước nguyên dương khác $p_1,p_2,...,p_k$ và đây chính là đpcm.
Kết thúc chứng minh $\blacksquare$
-----------
Lại dùng đao to giết gà r` =,=''
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi WhjteShadow: 29-04-2013 - 14:03