Chủ đề này có 10 trả lời

[phathuy]

Cho các số dương a, b, c thỏa abc=1. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức

$P=\frac{a}{a+b^{2}+c^{2}}+\frac{b}{b+c^{2}+a^{2}}+\frac{c}{c+a^{2}+b^{2}}$

 

 

[duc12116]

Đánh giá bunhi ở dưới mẫu rồi ghép vào là xong.

Mod. Đề nghị bạn cho một lời giải chi tiết hơn.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Phạm Quang Toàn: 29-04-2013 - 22:14

[Christian Goldbach]

Đánh giá bunhi ở dưới mẫu rồi ghép vào là xong.

Mod. Đề nghị bạn cho một lời giải chi tiết hơn.

Lời giải:

Áp dụng BDDT B.C.S ta có:

$(a+b^2+c^2) (a+1+1)\geq (a+b+c)^2\Rightarrow a+b^2+c^2\geq \frac{(a+b+c)^2}{a+2}\Rightarrow \frac{1}{a+b^2+c^2}\leq \frac{a+2}{(a+b+c)^2}\Rightarrow \frac{a}{a+b^2+c^2}\leq \frac{a^2+2a}{(a+b+c)^2}\Rightarrow \sum \frac{a}{a+b^2+c^2}\leq \frac{a^2+b^2+c^2+2a+2b+2c}{(a+b+c)^2}$

[andymurray44]

Xong rùi làm gì tiếp bạn .

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi andymurray44: 30-04-2013 - 19:15

[trandaiduongbg]

$ \sum \frac{a}{a+b^2+c^2}\leq \frac{a^2+b^2+c^2+2a+2b+2c}{(a+b+c)^2}$

Mình nghĩ ý của 

MrMathCSKH0110

là như thế này:

$\frac{a^2+b^2+c^2+2a+2b+2c}{(a+b+c)^2}$

=$\frac{a^2+b^2+c^2+2ab+2bc+2ca+2a+2b+2c-2ab-2bc-2ca}{(a+b+c)^2}$

=$\frac{(a+b+c)^2+2(a+b+c)-2(ab+bc+ca)}{(a+b+c)^2}$

=$\frac{(a+b+c)^2+2(a+b+c)-2(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c})}{(a+b+c)^2}$ (vì abc=1 => ab=$\frac{1}{c}$ và...)

=$\frac{(a+b+c)^2+2(a+b+c)-2\frac{ab+bc+ca}{abc}}{(a+b+c)^2}$

=$\frac{(a+b+c)^2}{(a+b+c)^2}$

=1

Dấu "=" xảy ra khi: a=b=c=1

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi trandaiduongbg: 03-05-2013 - 13:14

[Katyusha]

=$\frac{(a+b+c)^2+2(a+b+c)-2(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c})}{(a+b+c)^2}$ (vì abc=1 => ab=$\frac{1}{c}$ và...)

=$\frac{(a+b+c)^2+2(a+b+c)-2\frac{a+b+c}{abc}}{(a+b+c)^2}$

 

 

 

Đoạn này hình như có vấn đề bạn à

[andymurray44]

Đúng rồi mà

Katyusha

[phathuy]

$\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}=\frac{ab+bc+ca}{abc}$ chứ nhỉ? Nhưng đó vẫn là ý tưởng hay. Rất cảm ơn!

 

 

[duong vi tuan]

Lời giải:

Áp dụng BDDT B.C.S ta có:

$(a+b^2+c^2) (a+1+1)\geq (a+b+c)^2\Rightarrow a+b^2+c^2\geq \frac{(a+b+c)^2}{a+2}\Rightarrow \frac{1}{a+b^2+c^2}\leq \frac{a+2}{(a+b+c)^2}\Rightarrow \frac{a}{a+b^2+c^2}\leq \frac{a^2+2a}{(a+b+c)^2}\Rightarrow \sum \frac{a}{a+b^2+c^2}\leq \frac{a^2+b^2+c^2+2a+2b+2c}{(a+b+c)^2}$

theo cách cm bạn này thì dấu = xảy ra tại a=b=c =1 . Có nghĩa la theo mơ ước ta phải cm cái bâtd đẳng thức trên nhỏ hơn 1 .

Nhưng mà cách này bị phá sản do  a=b=1/2 , c=4 thì bdt trên lớn hơn 1 . 

Mọi người nghĩ cách khác nha.

[vutuanhien]

Cho các số dương a, b, c thỏa abc=1. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức

$P=\frac{a}{a+b^{2}+c^{2}}+\frac{b}{b+c^{2}+a^{2}}+\frac{c}{c+a^{2}+b^{2}}$

Bài này đổi biến là ra luôn

Đặt $a=\frac{x^2}{yz}, b=\frac{y^2}{zx}, c=\frac{z^2}{xy}$ thì $P=\sum \frac{x^4yz}{x^4yz+y^6+z^6}=\sum \frac{x^4}{x^4+\frac{y^6+z^6}{yz}}\leq \sum \frac{x^4}{x^4+y^4+z^4}=1$

[Zaraki]

Bât đẳng thức sau cũng đúng với $a,b,c>0$ và $abc=1$.

\[\frac{a}{a+b^{4}+c^{4}}+\frac{b}{b+a^{4}+c^{4}}+\frac{c}{c+a^{4}+b^{4}} \le 1\]