Chủ đề này có 6 trả lời

[votanphu]

tìm các số tự nhiên a,b,c sao cho $a^{2}(b+c)+b^{2}(c+a)+c^{2}(a+b)$ là số nguyên tố

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi votanphu: 01-05-2013 - 15:42

[L Lawliet]

tìm các số tự nhiên a,b,c sao cho $a^{2}(b+c)+b^{2}(c+a)+c^{2}(a+b)$

Sao có một vế thôi vậy bạn :-/ xem lại đề nhé :!

[votanphu]

xin lỗi nha, mình sửa lại rồi đó

[ilovelife]

tìm các số tự nhiên a,b,c sao cho $a^{2}(b+c)+b^{2}(c+a)+c^{2}(a+b)$ là số nguyên tố

Theo mình thì bài này bạn xét các trường hợp dư khi chia cho $3$

Để chứng minh khi ... thì $3 \mid a^{2}(b+c)+b^{2}(c+a)+c^{2}(a+b)$

còn lại thì $2 \mid a^{2}(b+c)+b^{2}(c+a)+c^{2}(a+b)$

$\implies$ chỉ có các nghiệm tầm thường

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi ilovelife: 11-05-2013 - 17:10

[Juliel]

Đặt biểu thức trên bằng P

* Xét a,b,c < 2 :

- Nếu a = b = c = 0 thì P = 0 (không là snt)

- Nếu hai trong ba số bằng 0, số còn lại bằng 1 thì P = 1 (không là snt)

- Nếu hai trong ba số bằng 1, số còn lại bằng 0 thì P = 2 (là snt)

- Nếu a = b = c = 1 thì P = 6 (không là snt)

* Xét a,b,c  $\geq$ 2 => P > 2

- Nếu a,b,c chẵn thì P = chẵn + chẵn + chẵn = chẵn mà P > 2 nên P là hợp số

- Nếu a,b,c lẻ thì a + b, b + c, a + c đều chẵn => P chẵn mà P > 2 nên P là hợp số

- Nếu trong ba số có hai số chẵn, một số lẻ. Không mất tính TQ, giả sử a và b chẵn, c lẻ

=> a + b chẵn, b + c lẻ, a + c lẻ

=> a²(b + c) chẵn, b²(c + a) chẵn, c²(a + b) chẵn

=> P chẵn mà P > 2 nên P là hợp số

- Nếu trong ba số có hai số lẻ, một số chẵn. Không mất tính TQ, giả sử a và b lẻ, c chẵn

=> a + b chẵn, b + c lẻ, a + c lẻ

=> a²(b + c) lẻ , b²(c + a) lẻ , c²(a + b) chẵn

=> P chẵn mà P > 2 nên P là hợp số

* Xét ba số a,b,c mà trong đó có hai số lớn hơn 2, số còn lại bé hơn 2

Không mất tính tổng quát, giả sử a,b > 2 và c < 2

=> c = 1 hoặc c = 0

- Nếu c = 0 thì P =  ab(a + b), để P nguyên tố thì ab = 1 hoặc a + b =1. Điều này vô lí vì a,b > 2

- Nếu c = 1 thì P = a^2.b+ab^2+a^2+b^2+a+b

Dễ thấy P > 2 nên để P nguyên tố thì P lẻ 

Nếu a,b cùng tính chẵn lẻ => P chẵn => P là hợp số

Nếu a,b khác tính chẵn lẻ => P chẵn => P là hợp số

* Xét ba số a,b,c mà trong đó có hai số bé hơn 2, số còn lại lớn hơn 2

Khôn mất tính TQ, giả sử a,b < 2 và c > 2

=> (a ; b) = (1 ; 0) ; (0 ; 1) ; (0 ; 0) ; (1 ; 1) 

- Xét (a ; b) = (1 ; 0) thì P = c(c + 1) , để P nguyên tố thì c =1 hoặc c+ 1 =1 (vô lí vì c > 2)

- Xét (a ; b) = (0 ; 1) tương tự cũng dẫn đến vô lí

- Xét (a ; b) = ( 0 ; 0) thì P = 0 (không là snt)

- Xét (a ; b) =(1 ;1) thì P = 2(c^2+c+1). Để P nguyên tố thì c^2+c+1=1=> c(c+1)=0 => c = -1 hoặc c = 0 (vô lí vì c > 2)

 

KL : (a  ; b ; c) = (1 ; 1 ;0) và các hoán vị

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Juliel: 15-05-2013 - 10:04

[Ha Manh Huu]

Đặt biểu thức trên bằng P

* Xét a,b,c < 2 :

- Nếu a = b = c = 0 thì P = 0 (không là snt)

- Nếu hai trong ba số bằng 0, số còn lại bằng 1 thì P = 1 (không là snt)

- Nếu hai trong ba số bằng 1, số còn lại bằng 0 thì P = 2 (là snt)

- Nếu a = b = c = 1 thì P = 6 (không là snt)

* Xét a,b,c  $\geq$ 2 => P > 2

- Nếu a,b,c chẵn thì P = chẵn + chẵn + chẵn = chẵn mà P > 2 nên P là hợp số

- Nếu a,b,c lẻ thì a + b, b + c, a + c đều chẵn => P chẵn mà P > 2 nên P là hợp số

- Nếu trong ba số có hai số chẵn, một số lẻ. Không mất tính TQ, giả sử a và b chẵn, c lẻ

=> a + b chẵn, b + c lẻ, a + c lẻ

=> a²(b + c) chẵn, b²(c + a) chẵn, c²(a + b) chẵn

=> P chẵn mà P > 2 nên P là hợp số

- Nếu trong ba số có hai số lẻ, một số chẵn. Không mất tính TQ, giả sử a và b lẻ, c chẵn

=> a + b chẵn, b + c lẻ, a + c lẻ

=> a²(b + c) lẻ , b²(c + a) lẻ , c²(a + b) chẵn

=> P chẵn mà P > 2 nên P là hợp số

 

KL : (a  ; b ; c) = (1 ; 1 ;0) và các hoán vị

thế nếu a,b,c có 1 số lớn hơn 2 và 2 số kia nhỏ hơn 2 thì sao

[Juliel]

thế nếu a,b,c có 1 số lớn hơn 2 và 2 số kia nhỏ hơn 2 thì sao

Ừ, không để ý mấy. Mình sửa lại rồi, bạn kiểm tra lại xem có đúng không nhé ! Tks bạn nhiều !