Cho a,b,c$>$0.Chứng minh rằng:
$(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c})(\frac{1}{1+a}+\frac{1}{1+b}+\frac{1}{1+c})\geq \frac{9}{a+b+c}$
$(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c})(\frac{1}{1+a}+\frac{1}{1+b}+\frac{1}{1+c})$
Bắt đầu bởi ongngua97, 01-05-2013 - 00:55
#2
Đã gửi 01-05-2013 - 11:41
vutuanhien
-
- ĐHV Toán Cao cấp
-
- 690 Bài viết
Thiếu úy
Cho a,b,c$>$0.Chứng minh rằng:
$(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c})(\frac{1}{1+a}+\frac{1}{1+b}+\frac{1}{1+c})\geq \frac{9}{a+b+c}$
Hình như đề bài sai. Cho a=b=c=3 thì VT<VP
"The first analogy that came to my mind is of immersing the nut in some softening liquid, and why not simply water? From time to time you rub so the liquid penetrates better, and otherwise you let time pass. The shell becomes more flexible through weeks and months—when the time is ripe, hand pressure is enough, the shell opens like a perfectly ripened avocado!" - Grothendieck
#3
Đã gửi 01-05-2013 - 12:33
ongngua97
-
- Thành viên
-
- 311 Bài viết
Sĩ quan
Mình xin lỗi, mình gõ lộn đề, đề đúng là: cho a,b,c dương. CMR
$(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c})(\frac{1}{1+a}+\frac{1}{1+b}+\frac{1}{1+c})\geq \frac{9}{1+abc}$
ONG NGỰA 97. 
#4
Đã gửi 01-05-2013 - 19:00
vutuanhien
-
- ĐHV Toán Cao cấp
-
- 690 Bài viết
Thiếu úy
Mình xin lỗi, mình gõ lộn đề, đề đúng là: cho a,b,c dương. CMR
$(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c})(\frac{1}{1+a}+\frac{1}{1+b}+\frac{1}{1+c})\geq \frac{9}{1+abc}$
Áp dụng BĐT Hoán vị, ta có $\frac{1}{a(1+a)}+\frac{1}{b(1+b)}+\frac{1}{c(1+c)}\geq \frac{1}{b(1+c)}+\frac{1}{c(1+a)}+\frac{1}{a(1+b)}$. Do đó ta chỉ cần cm 2 BĐT sau:$\frac{1}{b(1+c)}+\frac{1}{c(1+a)}+\frac{1}{a(1+b)}\geq \frac{3}{1+abc}$ (1)
$\frac{1}{a(1+c)}+\frac{1}{b(1+a)}+\frac{1}{c(1+b)}\geq \frac{3}{1+abc}$ (2)
Chứng minh BĐT (1):Đặt $a=\frac{kx}{y}; b=\frac{ky}{z}; c=\frac{kz}{x}$. BĐT trở thành $\frac{y}{z+kx}+\frac{z}{x+ky}+\frac{x}{y+kz}\geq \frac{3k}{1+k^3}$. Áp dụng BĐT Cauchy-Schwarz, ta có VT$\geq \frac{(x+y+z)^2}{(1+k)(ab+bc+ca)}\geq \frac{3}{1+k}$. Do đó ta chỉ cần chứng minh $\frac{3}{1+k}\geq \frac{3k}{1+k^3}\Leftrightarrow (k-1)^2(k+1)\geq 0$(hiển nhiên đúng). BĐT (2) chứng minh tương tự suy ra đpcm
- ongngua97 và chuyentoan1998 thích
"The first analogy that came to my mind is of immersing the nut in some softening liquid, and why not simply water? From time to time you rub so the liquid penetrates better, and otherwise you let time pass. The shell becomes more flexible through weeks and months—when the time is ripe, hand pressure is enough, the shell opens like a perfectly ripened avocado!" - Grothendieck
1 người đang xem chủ đề
0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh
