Cho a,b là các số thực thoả ${a^n} + {b^n} \in Z$ với n=1,2,3,4.Chứng minh ${a^n} + {b^n} \in Z$ với mọi n
Chứng minh ${a^n} + {b^n} \in Z$
#1
Posted 02-05-2013 - 21:45
#2
Posted 02-05-2013 - 22:23
Chắc là quy nạp
Giả sử $a^{n-1}+b^{n-1}$ nguyên
ta có $a^n+b^n=(a+b)(a^{n-1}+b^{n-1})-ab(a^{n-2}+b^{n-2})$
Ta cần chứng minh $ab$ nguyên
thật vậy
từ giả thiết dễ suy ra $2ab$ nguyên và $2a^2b^2$ nguyên
đặt $2ab=x$$\Rightarrow ab=\frac{x}{2}\Rightarrow 2a^2b^2=\frac{a^2}{2}\rightarrow 2|a^2\rightarrow 4|a^2\rightarrow 2|ab$
nên $ab$ nguyên
Edited by barcavodich, 02-05-2013 - 22:23.
- mat troi be nho and amma96 like this
[topic2=''][/topic2]Music makes life more meaningful
#3
Posted 02-05-2013 - 22:27
Từ đây ta có thể mở rộng bài toán
Nếu $x^n+y^n+z^n\epsilon Z$ với $n=1,2,3,4,6$ thì $x^n+y^n+z^n\epsilon Z \forall n \epsilon N$
- mat troi be nho and amma96 like this
[topic2=''][/topic2]Music makes life more meaningful
#4
Posted 02-05-2013 - 22:28
Chắc là quy nạp
Giả sử $a^{n-1}+b^{n-1}$ nguyên
ta có $a^n+b^n=(a+b)(a^{n-1}+b^{n-1})-ab(a^{n-2}+b^{n-2})$
Ta cần chứng minh $ab$ nguyên
thật vậy
từ giả thiết dễ suy ra $2ab$ nguyên và $2a^2b^2$ nguyên
đặt $2ab=x\Rightarrow ab=\frac{x}{2}\Rightarrow 2a^2b^2=\frac{a^2}{2}\rightarrow 2|a^2\rightarrow 4|a^2\rightarrow 2|ab$
nên $ab$ nguyên
chứng minh với mọi $n$ mà ko dùng quy nạp được
#5
Posted 02-05-2013 - 22:30
$n$ âm làm sao mà đúng được bạn
[topic2=''][/topic2]Music makes life more meaningful
#6
Posted 02-05-2013 - 22:34
n âm thì ngược lại thui.Giả sử mệnh đề đúng với n=k.Chứng minh mệnh đề đúng với n=k-1(tương tự)
- barcavodich likes this
#7
Posted 02-05-2013 - 22:34
1 user(s) are reading this topic
0 members, 1 guests, 0 anonymous users