Chủ đề này có 3 trả lời

[My Friend]

Cho 3 số x,y,z là các số dương thỏa mãn x+y+z=3 tìm GTNN của

 

\[\frac{{{x^2}}}{{x + {y^2}}} + \frac{{{y^2}}}{{y + {z^2}}} + \frac{{{z^2}}}{{z + {x^2}}}\]

 

Nguồn: Lấy trong đề thi thử lần thứ 6 trên moon.vn

 

Mình vẫn chưa giải được mong các bạn giúp đỡ

 

 

 

[25 minutes]

 

Áp dụng BĐT Cauchy ta có:   $y\sqrt{x}=\sqrt{x}.\sqrt{y}.\sqrt{y}\leq \frac{x+2y}{3}$

 

                         

 

Giải thích hộ anh cái này với ?

 

Cho 3 số x,y,z là các số dương thỏa mãn x+y+z=3 tìm GTNN của

 

\[\frac{{{x^2}}}{{x + {y^2}}} + \frac{{{y^2}}}{{y + {z^2}}} + \frac{{{z^2}}}{{z + {x^2}}}\]

 

Nguồn: Lấy trong đề thi thử lần thứ 6 trên moon.vn

 

Mình vẫn chưa giải được mong các bạn giúp đỡ

Vẫn sử dụng Cauchy ngược dấu như trên, ta có 

   $P \geq (x-\frac{y\sqrt{x}}{2})+(y-\frac{z\sqrt{y}}{2})+(z-\frac{x\sqrt{z}}{2})=3-\frac{y\sqrt{x}+z\sqrt{y}+x\sqrt{z}}{2}$

Dự đoán $P_{min}=3\Leftrightarrow x=y=z=1$ nên ta chỉ cần chứng minh 

                              $\frac{y\sqrt{x}+z\sqrt{y}+x\sqrt{z}}{2}\leq \frac{3}{2}$

                   $\Leftrightarrow y\sqrt{x}+z\sqrt{y}+x\sqrt{z}\leq 3$

Áp dụng BĐT B.C.S ta có $(y\sqrt{x}+z\sqrt{y}+x\sqrt{z})^2 \leq (x+y+z)(xy+yz+xz) \leq \frac{(x+y+z)^3}{3}=9$

Do đó việc chứng minh được hoàn tất

[My Friend]

Giải thích hộ anh cái này với ?

 

Vẫn sử dụng Cauchy ngược dấu như trên, ta có 

   $P \geq (x-\frac{y\sqrt{x}}{2})+(y-\frac{z\sqrt{y}}{2})+(z-\frac{x\sqrt{z}}{2})=3-\frac{y\sqrt{x}+z\sqrt{y}+x\sqrt{z}}{2}$

Dự đoán $P_{min}=3\Leftrightarrow x=y=z=1$ nên ta chỉ cần chứng minh 

                              $\frac{y\sqrt{x}+z\sqrt{y}+x\sqrt{z}}{2}\leq \frac{3}{2}$

                   $\Leftrightarrow y\sqrt{x}+z\sqrt{y}+x\sqrt{z}\leq 3$

Áp dụng BĐT B.C.S ta có $(y\sqrt{x}+z\sqrt{y}+x\sqrt{z})^2 \leq (x+y+z)(xy+yz+xz) \leq \frac{(x+y+z)^3}{3}=9$

Do đó việc chứng minh được hoàn tất

Bài trên đã bị xóa rồi. Mong bạn có thể trình bày lời giải lại từ đầu

[trauvang97]

Bài trên đã bị xóa rồi. Mong bạn có thể trình bày lời giải lại từ đầu

Thực ra là thế này:

$P = x-\frac{xy^{2}}{x+y^{2}}+y-\frac{yz^{2}}{y+z^{2}}+z-\frac{zx^{2}}{z+x^{2}}\geq x+y+z-\frac{xy^{2}}{2y\sqrt{x}}-\frac{yz^{2}}{2z\sqrt{y}}-\frac{zx^{2}}{2x\sqrt{z}}$

 

          $P\geq x+y+z-\frac{y\sqrt{x}}{2}-\frac{z\sqrt{y}}{2}-\frac{x\sqrt{z}}{2}$

 

và phần còn lại thì làm như anh @Trần Hoàng Anh Arsenal

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi trauvang97: 04-05-2013 - 18:40