Chủ đề này có 1 trả lời

[ongngua97]

Giả sử x,y,z là các số thực dương thoả $x^{2}+y^{2}+z^{2}=3$

tìm giá trị dương nhỏ nhất của:

$P=\frac{x^{2}+1}{y}+\frac{y^{2}+1}{z}+\frac{z^{2}+1}{x}-\frac{1}{x+y+z}$

Trích THTT số 430 đề thi thử đại học.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi ongngua97: 09-05-2013 - 20:15

[25 minutes]

Giả sử x,y,z là các số thực dương thoả $x^{2}+y^{2}+z^{2}=3$

tìm giá trị dương nhỏ nhất của:

$P=\frac{x^{2}+1}{y}+\frac{y^{2}+1}{z}+\frac{z^{2}+1}{x}-\frac{1}{x+y+z}$

Trích THTT số 430 đề thi thử đại học.

Ta có $P=\frac{x^2}{y}+\frac{y^2}{z}+\frac{z^2}{x}+(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z})-\frac{1}{x+y+z}$

Lại có $\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\geq \frac{9}{x+y+z}$

  $\Rightarrow P \geq \frac{x^2}{y}+\frac{y^2}{z}+\frac{z^2}{x}+\frac{8}{x+y+z}$           (*)

Ta lại có những bđt phụ sau : 

          $\frac{x^2}{y}+\frac{y^2}{z}+\frac{z^2}{x} \geq \frac{(x^2+y^2+z^2)^2}{x^2y+y^2z+z^2x}=\frac{9}{x.xy+y.yz+z.xz}$ theo Cauchy-Schwazt

Lại có theo B.C.S và Am-GM thì $x.xy+y.yz+z.xz \leq \sqrt{(x^2+y^2+z^2)(x^2y^2+y^2z^2+z^2x^2)} \leq \sqrt{(x^2+y^2+z^3)\frac{(x^2+y^2+z^2)^2}{3}}=3$

Do đó $\frac{x^2}{y}+\frac{y^2}{z}+\frac{z^2}{x} \geq 3$    (1)

Ta có $x+y+z \leq \sqrt{3(x^2+y^2+z^2)}=3\Rightarrow \frac{8}{x+y+z} \geq \frac{8}{3}$    (2)

Từ (1), (2) và (*) ta có ngay $P \geq 3+\frac{8}{3}=\frac{17}{3}$

Dấu = xảy ra khi $x=y=z=1$