Chủ đề này có 3 trả lời

[matvang0710]

Các bạn giải giúp mình bài này nhá

Cho 3 số dương a,b,c thoả mãn a+b+c$\leq$3.Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức

P=$\frac{1}{2+a^2}+\frac{1}{2+b^2}+\frac{1}{2+c^2}+\frac{1}{ab}+\frac{1}{bc}+\frac{1}{ac}$

 

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Oral31211999: 09-05-2013 - 21:26

[25 minutes]

Các bạn giải giúp mình bài này nhá

Cho 3 số dương a,b,c thoả mãn a+b+c$\leq$3.Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức

P=$\frac{1}{2+a^2}+\frac{1}{2+b^2}+\frac{1}{2+c^2}+\frac{1}{ab}+\frac{1}{bc}+\frac{1}{ac}$

Ta có $P=(\sum \frac{1}{2+a^2}+\sum \frac{1}{3ab})+\sum \frac{2}{3ab}$

Ta lại có $\sum \frac{1}{2+a^2}+\sum \frac{1}{3ab} \geq \frac{(1+1+1+1+1+1)^2}{6+a^2+b^2+c^2+3(ab+bc+ac)}=\frac{36}{6+(a+b+c)^2+ab+bc+ac}$

Áp dụng AM-GM ta có $ab+bc+ac \leq \frac{(a+b+c)^2}{3}$

          $\Rightarrow \sum \frac{1}{2+a^2}+\sum \frac{1}{3ab} \geq \frac{36}{6+(a+b+c)^2+ab+bc+ac} \geq \frac{36}{6+(a+b+c)^2+\frac{(a+b+c)^2}{3}}$

Do giả thiết ta có $a+b+c \leq 3$ nên

          $\sum \frac{1}{2+a^2}+\sum \frac{1}{3ab} \geq \frac{36}{6+3^2+\frac{3^2}{3}}=2$

Và có $\sum \frac{2}{3ab} =\frac{2}{3}(\frac{1}{ab}+\frac{1}{bc}+\frac{1}{ac}) \geq \frac{2}{3}.\frac{9}{ab+bc+ac} \geq \frac{6}{\frac{(a+b+c)^2}{3}} \geq 2$

Vậy $P =\sum \frac{1}{2+a^2}+\sum \frac{1}{3ab}+\sum \frac{2}{3ab} \geq 2+2=4$

Dấu = xảy ra khi $a=b=c=1$

[matvang0710]

Cám ơn các ban rất nhiều tiện cho mình hỏi bài này nữa được không

Cho 3 số dương a,b,c thoả mãn a+b+c$\leq3$.Tìm Min P = $\frac{1}{2+a^2}+\frac{1}{2+b^2}+\frac{1}{2+c^2}$

[trananh2771998]

Mình xin lỗi hình như mình giải nhầm rồi

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi trananh2771998: 10-05-2013 - 10:53