Chủ đề này có 5 trả lời

[matvang0710]

Tìm giá trị nhỏ nhất của P =$\frac{1}{2+a^2}+\frac{1}{2+b^2}+\frac{1}{2+c^2}$

 

với a,b,c dương và a+b+c=3.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi matvang0710: 11-05-2013 - 12:25

[ilovelife]

Tìm giá trị nhỏ nhất của P =$\frac{1}{2+a^2}+\frac{1}{2+b^2}+\frac{1}{2+c^2}$

 

với a,b,c dương và a+b+c=3.

$a+b+c=3$ hay là $ab + bc + ca = 3$ (để thế mình mới làm được), bạn xem lại cho mình được không ?

[sieucuong1998]

Tìm giá trị nhỏ nhất của P =$\frac{1}{2+a^2}+\frac{1}{2+b^2}+\frac{1}{2+c^2}$

 

với a,b,c dương và a+b+c=3.

Lời giải. Áp dụng BĐT Schwarz ta có

$P =\frac{1}{2+a^2}+\frac{1}{2+b^2}+\frac{1}{2+c^2}\geq\frac{9}{a^{2}+b^{2}+c^{2}+6}$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi sieucuong1998: 11-05-2013 - 16:15

[My Friend]

Lời giải. Áp dụng BĐT Schwarz ta có

$P =\frac{1}{2+a^2}+\frac{1}{2+b^2}+\frac{1}{2+c^2}\geq\frac{9}{a^{2}+b^{2}+c^{2}+6}$

Đến đây đã xong chưa

[nthoangcute]

Tìm giá trị nhỏ nhất của P =$\frac{1}{2+a^2}+\frac{1}{2+b^2}+\frac{1}{2+c^2}$

 

với a,b,c dương và a+b+c=3.

 

Đề là $a,b,c \geq 0$ thì mới có thể làm được ...

[nthoangcute]

Lời giải cho bài mà $a,b,c \geq 0$ và $a+b+c=3$

Cách 1: Không mất tính tổng quát, $0 \leq a \leq b \leq c \leq 3$

Xét hàm $f(a,b,c)=\frac{1}{2+a^2}+\frac{1}{2+b^2}+\frac{1}{2+c^2}$

Khi đó $f(a,b,c)-f\left(a,\frac{b+c}{2},\frac{b+c}{2}\right)={\frac { \left( {b}^{2}+4\,bc+{c}^{2}-4 \right)  \left( b-c \right) ^{2}}{ \left( {b}^{2}+2 \right)  \left( {c}^{2}+2 \right)  \left( {b}^{2}+2\,bc+{c}^{2}+8 \right) }}$$

Ta thấy $b^2+4bc+c^2-4=(3-a)^2+2bc-4 \geq (3-a)^2+2a^2-4 =3(a-1)^2+2 >0$

Vậy $f(a,b,c) \geq f\left(a,\frac{b+c}{2},\frac{b+c}{2}\right)$

Suy ra $P \geq \frac{1}{a^2+2}+\frac{8}{a^2-6a+17}=\frac{33}{34}-{\frac {3}{34}}\,{\frac {a \left( 11\,{a}^{3}-66\,{a}^{2}+107\,a-64 \right) }{ \left( {a}^{2}+2 \right)  \left( {a}^{2}-6\,a+17 \right) }}$

Giờ cần chứng minh $11a^3-66a^2+107a-64 < 0$ với mọi $a$ thỏa mãn $0 \leq a \leq 1$

Thật vậy: $$\int^1_0 11a^3-66a^2+107a-64 da=-\frac{119}{4}<0$$ suy ra đpcm

Tóm lại $P \min =\frac{33}{34}$