Chủ đề này có 4 trả lời

[ongngua97]

cho các số thực x,y,z thoả $x^{2}+y^{2}+z^{2}=3$

TÌm GTNN và GTLN của biểu thức :$P=(x+2)(y+2)(z+2)$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi ongngua97: 12-05-2013 - 10:59

[nthoangcute]

cho các số thực x,y,z thoả $x^{2}+y^{2}+z^{2}=3$

TÌm GTNN và GTLN của biểu thức :$P=(x+2)(y+2)(z+2)$

 

Theo giả thiết ta có:
$$\ln P=\ln (x+2)+\ln (y+2)+\ln (z+2)$$
Xét hàm $f(x)=\ln (x+2)-\frac{1}{6}{x^2}$
Ta thấy $f'(x)=\frac{1}{x+2}-\frac{x}{3}=-\frac{(x+3)(x-1)}{3(x+2)}$
Suy ra $f(x) \leq f(1)=\ln 3 -\frac{1}{6}$
Chứng minh tương tự ta được:
$$\ln P \leq \frac{1}{6} (x^2+y^2+z^2)+3 \ln 3- \frac{1}{2}=3 \ln 3$$
Suy ra $$P \leq 27$$
 

[25 minutes]

cho các số thực x,y,z thoả $x^{2}+y^{2}+z^{2}=3$

TÌm GTNN và GTLN của biểu thức :$P=(x+2)(y+2)(z+2)$

Phần tìm Max có thể làm đơn giản hơn 

 Do $x^2+y^2+z^2=3$ $\Rightarrow -\sqrt{3} \leq x,y,z \leq \sqrt{3}$

                                   $\Rightarrow x+2,y+2,z+2 >0$

Áp dụng AM-GM ta có 

              $(x+2)(y+2)(z+2) \leq \frac{(x+y+z+6)^3}{27} \leq \frac{(\sqrt{3(x^2+y^2+z^2)}+6)^3}{27}=27$

Dấu = xảy ra khi $x=y=z=1$

[PRONOOBCHICKENHANDSOME]

$(x+y+z)^2 = x^2+y^2+z^2+2xy+2yz+2zx \geq 3$

Suy ra $ x+y+z \geq \sqrt{3} $ ( dấu = xảy ra khi 2 số bằng 0 , số còn lại là $\sqrt{3}$) 

Max tìm rồi , giờ tìm min thôi :

$(x+2)(y+2)(z+2) = xyz + 2(xy+yz+zx) + 4(x+y+z)+8 \geq 0+0+4 \sqrt{3} + 8$ 

Dấu = xảy ra khi 2 số bằng 0 và số còn lại bằng $\sqrt{3}$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi PRONOOBCHICKENHANDSOME: 12-05-2013 - 16:01

[ongngua97]

$(x+y+z)^2 = x^2+y^2+z^2+2xy+2yz+2zx \geq 3$

 

nhưng đề bài đâu có cho a,b,c không âm.