Chủ đề này có 2 trả lời

[jb7185]

1. Chứng minh rằng điều kiện cần và đủ để bất phương trình $x^4+px^3+q$ nghiệm đúng $\forall x$ là $256p\geq 27p^4$

2. Gọi bán kính hình nón là $R$, đường cao hình nón là $h$, đường sinh hình nón là $l$, thể tích hình nón là $V$, diện tích xung quanh là $S$. Chứng minh rằng $(\frac{6V}{\pi })^2\leq (\frac{2S}{\pi \sqrt{3}})^2$

 

[25 minutes]

 

2. Gọi bán kính hình nón là $R$, đường cao hình nón là $h$, đường sinh hình nón là $l$, thể tích hình nón là $V$, diện tích xung quanh là $S$. Chứng minh rằng $(\frac{6V}{\pi })^2\leq (\frac{2S}{\pi \sqrt{3}})^2$

Ta có $V=\frac{1}{3} \pi R^2\sqrt{l^2-R^2} với $(0 < R <l)$, $S=\pi Rl$

BĐT $\Leftrightarrow 4R^4(l^2-R^2) \leq \frac{8R^3l^3}{3\sqrt{3}}$

        $\Leftrightarrow \frac{R}{l}-\frac{R^3}{l^3} \leq \frac{2}{3\sqrt{3}}$

Đặt $t=\frac{R}{l}$ với $0 <t<1$

BĐT $\Leftrightarrow t-t^3 \leq \frac{2}{3\sqrt{3}}$ với $t \in (0;1)$

Xét $f(t)=t-t^3$

       $\Rightarrow f'(t)=1-3t^2=0\Leftrightarrow t=\frac{1}{\sqrt{3}}$

Ta có $f''(t)=-6x<0$

Vậy $f(t)$ cực đại tại $t=\frac{1}{\sqrt{3}}$

       $\Rightarrow f(t) \leq f(\frac{1}{\sqrt{3}})=\frac{2}{3\sqrt{3}}$

Vậy ta có đpcm

Dấu = xảy ra khi $t=\frac{1}{\sqrt{3}}\Leftrightarrow l=R\sqrt{3}$

[25 minutes]

1. Chứng minh rằng điều kiện cần và đủ để bất phương trình $x^4+px^3+q$ nghiệm đúng $\forall x$ là $256p\geq 27p^4$

 

Bài này mình không hiểu đề bài lắm.Mình xin mạnh dạn sửa lại như sau : 

CMR BPT $x^4+px^3+q \geq 0, \forall x \in \mathbb{R}\Leftrightarrow (\frac{p}{4})^4 \leq (\frac{q}{3})^3$