2. Gọi bán kính hình nón là $R$, đường cao hình nón là $h$, đường sinh hình nón là $l$, thể tích hình nón là $V$, diện tích xung quanh là $S$. Chứng minh rằng $(\frac{6V}{\pi })^2\leq (\frac{2S}{\pi \sqrt{3}})^2$
Ta có $V=\frac{1}{3} \pi R^2\sqrt{l^2-R^2} với $(0 < R <l)$, $S=\pi Rl$
BĐT $\Leftrightarrow 4R^4(l^2-R^2) \leq \frac{8R^3l^3}{3\sqrt{3}}$
$\Leftrightarrow \frac{R}{l}-\frac{R^3}{l^3} \leq \frac{2}{3\sqrt{3}}$
Đặt $t=\frac{R}{l}$ với $0 <t<1$
BĐT $\Leftrightarrow t-t^3 \leq \frac{2}{3\sqrt{3}}$ với $t \in (0;1)$
Xét $f(t)=t-t^3$
$\Rightarrow f'(t)=1-3t^2=0\Leftrightarrow t=\frac{1}{\sqrt{3}}$
Ta có $f''(t)=-6x<0$
Vậy $f(t)$ cực đại tại $t=\frac{1}{\sqrt{3}}$
$\Rightarrow f(t) \leq f(\frac{1}{\sqrt{3}})=\frac{2}{3\sqrt{3}}$
Vậy ta có đpcm
Dấu = xảy ra khi $t=\frac{1}{\sqrt{3}}\Leftrightarrow l=R\sqrt{3}$