2 replies to this topic

[Mai Xuan Son]

Cho ngũ giác có các đỉnh được gán các giá trị nguyên $x_{i}$ với $i\in \left \{ 1;2;3;4;5 \right \}$

Sao cho $\sum _{i=1}^{5}x_{i}> 0$ Bốc ra 3 đỉnh liên tiếp $x,y,z$ có $y<0$ thì ta thay $(x;y;z) \mapsto (x+y;-y;y+z)$

Cứ làm như thế, Chứng minh thuật toán này luôn phải dừng!!

Edited by Mai Xuan Son, 12-05-2013 - 20:50.

[reddevil1998]

Lâu rồi mới có thời gian post bài:

Bài này dùng đơn biến nhé bạn.

Lập hàm số học:$f_{n}(x_{1},x_{2},x_{3},x_{4},x_{5})=(x_{1}-x_{3})^{2}+(x_{2}-x_{4})^{2}+(x_{3}-x_{5})^{2}+(x_{4}-x_{1})^{2}+(x_{5}-x_{2})^{2}$(trạng thái thứ n)

Xét hàm đó ở trạng thái thứ n+1:

$f_{n+1}(x_{1},x_{2},x_{3}+x_{4},-x_{4},x_{5}+x_{4})=(x_{1}-x_{3}-x_{4})^{2}+(x_{2}+x_{4})^{2}+(x_{3}-x_{5})^{2}+(x_{4}+x_{1})^{2}+(x_{5}+x_{4}-x_{1})^{2}$

Giờ ta xét hiệu :$f_{n+1}-f_{n}$$=2x_{4}(x_{1}+x_{2}+x_{3}+x_{4}+x_{5})<0$

Suy ra $f$ là hàm giảm ,vậy ta nhận được dãy giảm vô hạn các số nguyên dương (vô lí)

Vậy phép biến đổi trên phải kết thúc sau hữu hạn lần.

[Mai Xuan Son]

Lâu rồi mới có thời gian post bài:

Bài này dùng đơn biến nhé bạn.

Lập hàm số học:$f_{n}(x_{1},x_{2},x_{3},x_{4},x_{5})=(x_{1}-x_{3})^{2}+(x_{2}-x_{4})^{2}+(x_{3}-x_{5})^{2}+(x_{4}-x_{1})^{2}+(x_{5}-x_{2})^{2}$(trạng thái thứ n)

Xét hàm đó ở trạng thái thứ n+1:

$f_{n+1}(x_{1},x_{2},x_{3}+x_{4},-x_{4},x_{5}+x_{4})=(x_{1}-x_{3}-x_{4})^{2}+(x_{2}+x_{4})^{2}+(x_{3}-x_{5})^{2}+(x_{4}+x_{1})^{2}+(x_{5}+x_{4}-x_{1})^{2}$

Giờ ta xét hiệu :$f_{n+1}-f_{n}$$=2x_{4}(x_{1}+x_{2}+x_{3}+x_{4}+x_{5})<0$

Suy ra $f$ là hàm giảm ,vậy ta nhận được dãy giảm vô hạn các số nguyên dương (vô lí)

Vậy phép biến đổi trên phải kết thúc sau hữu hạn lần.

Có cách khác không bạn, cách này hơi cũ rùi