Chủ đề này có 1 trả lời

[vietthanh]

Cho $a,b,c> 0$

Chứng minh:

$(a+\frac{bc}{a})(b+\frac{ac}{b})(c+\frac{ab}{c})\geq 4\sqrt[3]{(a^{3}+b^{3})(b^{3}+c^{3})(c^{3}+a^{3})}$

[Mua buon]

Cho $a,b,c> 0$

Chứng minh:

$(a+\frac{bc}{a})(b+\frac{ac}{b})(c+\frac{ab}{c})\geq 4\sqrt[3]{(a^{3}+b^{3})(b^{3}+c^{3})(c^{3}+a^{3})}$

 

Theo bất đẳng thức AM_GM ta có:

$(a^2+bc)(b^2+ac)=ab(c^2+ab)+c.(a^3+b^3) \ge 2\sqrt{abc(a^3+b^3)(c^2+ab)} (1)$

Tương tự, ta có:

$(b^2+ac)(c^2+ab) \ge 2.\sqrt{abc.(b^3+c^3)(a^2+bc)} (2)$

$(c^2+ab)(a^2+bc) \ge 2.\sqrt{abc.(c^3+a^2)(b^2+ac)} (3)$

Do $a,b,c > 0$

Nhân (1), (2) và (3) theo vế ta có:

$(a^2+bc)^2(b^2+ac)^2(c^2+ab)^2 \ge 8.\sqrt{a^3b^3c^3(a^3+b^3)(b^3+c^3)(c^3+a^3)(a^2+bc)(b^2+ac)(c^2+ab)}$

 

$(a^2+bc)^4(b^2+ac)^4(c^2+ab)^4 \ge$

$64.a^3b^3c^3(a^3+b^3)(b^3+c^3)(c^3+a^3)(a^2+bc)(b^2+ac)(c^2+ab)$

Suy ra đpcm

Dấu "=" có khi và chỉ khi $a=b=c$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Mua buon: 14-05-2013 - 11:20