Chủ đề này có 1 trả lời

[bachhammer]

Cho a, b là các số thực dương. Chứng minh rằng:$(\sqrt{a}+\sqrt{b})(\frac{1}{\sqrt{a+3b}}+\frac{1}{\sqrt{b+3a}})\leq 2$

[banhgaongonngon]

Cho a, b là các số thực dương. Chứng minh rằng:$(\sqrt{a}+\sqrt{b})(\frac{1}{\sqrt{a+3b}}+\frac{1}{\sqrt{b+3a}})\leq 2$

 

Ta có $\sum \frac{1}{\sqrt{a+3b}}\overset{C-S}{\leq } \sqrt{2\left ( \sum \frac{1}{a+3b} \right )}$

Do đó ta cần chứng minh $2\sum \frac{1}{a+3b}\leq \frac{4}{\left ( \sqrt{a}+\sqrt{b} \right )^{2}}$   $(*)$

Thật vậy ta có

$(*) \Leftrightarrow \frac{8(a+b)}{3a^{2}+3b^{2}+10ab}\leq \frac{4}{a+b+2\sqrt{ab}} $

$\Leftrightarrow 2(a+b)^{2}+4(a+b)\sqrt{ab}\leq 3a^{2}+3b^{2}+10ab $

$\Leftrightarrow (a+b)^{2}+4ab-4(a+b)\sqrt{ab} $

$\Leftrightarrow \left ( a+b-2\sqrt{ab} \right )^{2}\geq 0$   (đúng $\forall a,b\geq 0$)