Cho các số thực x,y thay đổi thõa mãn: $\left\{\begin{matrix} x> 1;y> 1 & & \\ x+y\leq 4& & \end{matrix}\right.$
Tìm GTNN của biểu thức $P= \frac{x^{4}}{\left ( x-1 \right )^{3}}+\frac{y^{4}}{\left ( y-1 \right )^{3}}$
Cho các số thực x,y thay đổi thõa mãn: $\left\{\begin{matrix} x> 1;y> 1 & & \\ x+y\leq 4& & \end{matrix}\right.$
Tìm GTNN của biểu thức $P= \frac{x^{4}}{\left ( x-1 \right )^{3}}+\frac{y^{4}}{\left ( y-1 \right )^{3}}$
$\frac{x^{4}}{(x-1)^{3}}+16(x-1)\geq 8.\frac{x^{2}}{(x-1)}$
Tương tự và cộng hai BĐT lại :
$p + 16(x - 1) + 16(y-1)\geq 8.(\frac{x^{2}}{x-1}+\frac{y^{2}}{y-1})$
Ta xét $A=\frac{x^{2}}{x-1}+\frac{y^{2}}{y-1}$
Đặt x - 1 = a và y - 1 = b, ta có $A=\frac{(a+1)^{2}}{a}+\frac{(b+1)^{2}}{b}=a+2+\frac{1}{a}+b+2+\frac{1}{b}\geq (a+b)+\frac{4}{a+b}+4\geq 2\sqrt{4}+4=8 \Rightarrow A\geq 8$
Do đó $P\geq 8A-16(x+y)+32\geq 8.8-16.4+32=32$
Min P = 32 <=> x = y = 2
Đừng rời xa tôi vì tôi lỡ yêu người mất rồi !
Welcome to My Facebook !
Cách này nhanh hơn nhiều nè:
Bổ đề:
Với $x >1$ thì $\frac{x^4}{(x-1)^3}+16x \geq 48$
Thật vậy BĐT tương đương với $\frac{(17x^2-28x+12)(x-2)^2}{(x-1)^3} \geq 0$
Xong
Cộng lại ta có đpcm
BÙI THẾ VIỆT - Chuyên gia Thủ Thuật CASIO
• Facebook : facebook.com/viet.alexander.7
• Youtube : youtube.com/nthoangcute
• Gmail : [email protected]
• SÐT : 0965734893
Cho các số thực x,y thay đổi thõa mãn: $\left\{\begin{matrix} x> 1;y> 1 & & \\ x+y\leq 4& & \end{matrix}\right.$
Tìm GTNN của biểu thức $P= \frac{x^{4}}{\left ( x-1 \right )^{3}}+\frac{y^{4}}{\left ( y-1 \right )^{3}}$
Có cách khác nè:
P=$\frac{x^{4}}{(x-1)^{3}}+\frac{y^{4}}{(y-1)^{3}}\geq 2\sqrt{\frac{x^{4}y^{4}}{(x-1)^{3}(y-1)^{3}}}$
$\Rightarrow P\geq 2\frac{x^{2}y^{2}}{\sqrt{(x-1)^{3}(y-1)^{3}}}=2.\frac{x^{2}}{x-1}.\frac{y^{2}}{y-1}.\frac{1}{\sqrt{(x-1)(y-1)}}$
Ta dễ dàng chứng minh được $\frac{a^{2}}{a-1}\geq 4$
$\Rightarrow P\geq 2.4.4.\frac{1}{\sqrt{(x-1)(y-1)}}\geq 32.\frac{1}{\frac{x-1+y-1}{2}}\geq 32$
Dấu "=" khi x=y=2
THE SHORTEST ANSWER IS DOING
Cho các số thực x,y thay đổi thõa mãn: $\left\{\begin{matrix} x> 1;y> 1 & & \\ x+y\leq 4& & \end{matrix}\right.$
Tìm GTNN của biểu thức $P= \frac{x^{4}}{\left ( x-1 \right )^{3}}+\frac{y^{4}}{\left ( y-1 \right )^{3}}$
Sao lại phải làm phức tạp thế nhỉ.
Áp dụng AM-GM : $\frac{x^{4}}{(x-1)^{3}}+16(x-1)+16(x-1)+16(x-1)\geq4\sqrt[4]{16^{3}x^{4}}=32x$
$\Rightarrow \frac{x^{4}}{(x-1)^{3}}\geq 48-16x$
Do đó : $P\geq 96-16(x+y)\geq32$
P/S : Bài này hình như tuyển sinh vào Chuyên Lam Sơn năm 2012-2013 thì phải
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi namsub: 18-05-2013 - 17:21
"Nothing is impossible"
(Napoleon Bonaparte)
Toán Trung học Cơ sở →
Đại số →
Tìm GTNN của PBắt đầu bởi Monkey Moon, 13-02-2019 toán 9, đại số, tìm gtnn |
|
|||
Toán Trung học Cơ sở →
Đại số →
Tìm GTNN của ABắt đầu bởi Monkey Moon, 12-02-2019 đại số, toán 9, tìm gtnn |
|
|||
Toán Trung học Cơ sở →
Bất đẳng thức và cực trị →
Tìm GTNNBắt đầu bởi chuong4989, 09-01-2018 tìm gtnn |
|
|||
Toán Trung học Cơ sở →
Đại số →
Cho a + b \leq 5.Tìm GTNN,GTLN của biểu thức A = \frac{3x+7}{x+2} - \frac{1+6y}{2y+1}Bắt đầu bởi Loca Phan, 12-11-2017 toán 9, đại số, tìm gtnn |
|
|||
Toán Trung học Cơ sở →
Bất đẳng thức và cực trị →
Cho a2 + b2 + c2 = 1. Tìm GTNN của P = $\frac{bc}{a}+\frac{ac}{b}+\frac{ab}{c}$Bắt đầu bởi trankimtoan1975, 05-04-2017 tìm gtnn |
|
0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh