Chủ đề này có 3 trả lời

[viendanho98]

cho 2 so duong x,y có tổng x+y=1

tìm min $P=8(x^4+y^4)+\frac{1}{xy}$

[Supermath98]

cho 2 so duong x,y có tổng x+y=1

tìm min $P=8(x^4+y^4)+\frac{1}{xy}$

Ta có: $P\geq 4\left ( x^{2}+y^{2} \right )^{2}+\frac{1}{xy}\geq 4\left ( \frac{\left ( x +y \right )^{2}}{2} \right )^{2}+\frac{1}{xy}= 1+\frac{1}{xy}\geq 1+\frac{1}{\frac{1}{4}}=5$

Vậy Pmin=5 khi x=y=0,5

[banhgaongonngon]

cho 2 so duong x,y có tổng x+y=1

tìm min $P=8(x^4+y^4)+\frac{1}{xy}$

 

$8\left ( x^{4}+y^{4} \right )+\frac{1}{xy}$

$\geq 16x^{2}y^{2}+\frac{1}{4xy}+\frac{1}{4xy}+\frac{1}{2xy}$

$\geq 3\sqrt[3]{16x^{2}y^{2}.\frac{1}{4xy}.\frac{1}{4xy}}+\frac{2}{(x+y)^{2}}=5$

Dấu "=" xảy ra $\Leftrightarrow x=y=\frac{1}{2}$

[bachhammer]

Cách khác: Áp dụng BĐT Cauchy ta có: $P=8x^{4}+8y^{4}+\frac{1}{8xy}+\frac{1}{8xy}+\frac{1}{8xy}+\frac{1}{8xy}+\frac{1}{2xy}\geq 6\sqrt[6]{\frac{1}{64}}+\frac{2}{(x+y)^{2}}=3+2=1$. Dấu bằng xảy ra khi x=y=1.