Chủ đề này có 1 trả lời

[bachhammer]

Cho dãy số $(u_{n})$ xác định như sau:

$u_{1}=\frac{3}{\sqrt{6}}$;($u_{n+1}=24u_{n}^{3}-12\sqrt{6}u_{n}^{2}+15u_{n}-\sqrt{6}, n=1,2,...$

Tìm công thức số hạng tổng quát $u_{n}$ của dãy trên.

 

 

@supermemebr:

 

 Bài này gồm các bước sau:

 

Bước 1: Xét dãy phụ: $ v_n = \sqrt{6} u_n$

 

Bước 2: Xét dãy phụ: $ a_n = v_n -1$ , ta thu được đẳng thức $ a_{n+1} = 4a^3_n+ 3a_n$

 

Bước 3: Tìm $2$ số thực $x_1 ; x_2$ thoả mãn: $ a_n = \frac{1}{2} \left( x^{3^{n-1}}_1+ x^{3^{n-1}}_2 \right)$

 

Bước 4: Suy ra: $ v_n = \frac{1}{ 2 \sqrt{6}} \left( x^{3^{n-1}}_1+ x^{3^{n-1}}_2 +2 \right)$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi supermember: 18-05-2013 - 23:25

[Crystal]

Cho dãy số $(u_{n})$ xác định như sau:

$u_{1}=\frac{3}{\sqrt{6}}$;($u_{n+1}=24u_{n}^{3}-12\sqrt{6}u_{n}^{2}+15u_{n}-\sqrt{6}, n=1,2,...$

Tìm công thức số hạng tổng quát $u_{n}$ của dãy trên.

 

Đặt $u_{n}=xv_{n}+y$.Thay vào công thức truy hồi của dãy biến đổi
và rút gọn ta được:
$xv_{n}+y=24x^{3}v^{3}_{n-1}$+$12(6x^{2}y-\sqrt{6}x^{2})v^{2}_{n-1}$+$3(24xy^{2}-8\sqrt{6}xy+5x)v_{n-1}+24y^{3}$-$
12\sqrt{6}y^{2}+15y-\sqrt{6}$
Ta chọn y:$\left\{\begin{matrix} 6x^{2}y-\sqrt{6}x^{2}=0 & \\ 24y^{3}-12\sqrt{6}y^{2}+15y-\sqrt{6=y} & \end{matrix}\right. \Leftrightarrow y=\frac{1}{\sqrt{6}}$
Khi đó $x.v_{n}=24x^{3}v^{3}_{n-1}+3xv_{n-1} \Leftrightarrow v_{n}=24x^{3}v^{3}_{n-1}+3v_{n-1}$
Ta chọn x=$\frac{1}{\sqrt{6}}$
$\Rightarrow v_{n}=4v^{3}_{n-1}+3v_{n-1};v_{1}=2 $
$\Rightarrow v_{n}=\frac{1}{2}[(2+\sqrt{5})^{3^{n-1}}+(2-\sqrt{5})^{3^{n-1}}]$
Vậy $u_{n}=\frac{1}{2\sqrt{6}}[(2+\sqrt{5})^{3^{n-1}}+(2-\sqrt{5})^{3^{n-1}}]+\frac{1}{\sqrt{6}} ;\forall n=1,2,...$
p\s mọi thắc mắc xem ở đây