Chủ đề này có 2 trả lời

[bachhammer]

Cho 3 số thực x,y,z thỏa mãn $x^{2}+y^{2}+z^{2}=9$. Tìm GTLN của $A=2(x+y+z)-xyz$

[25 minutes]

Cho 3 số thực x,y,z thỏa mãn $x^{2}+y^{2}+z^{2}=9$. Tìm GTLN của $A=2(x+y+z)-xyz$

Do vai trò của $x,y,z$ là như nhau nên ta có thể giả sử $x \leq y \leq z$

Ta xét các TH của $x$ như sau : 

TH1 : $x \geq 0$

       1,1 : $x>\frac{3}{4}$

       Do đó ta có $2(x+y+z)-xyz < 2\sqrt{3(x^2+y^2+z^2)}-(\frac{3}{4})^3\approx 9,98 <10$

       1,2 : $0 \leq x \leq \frac{3}{4}$

       Do đó ta có $2(x+y+z)-xyz \leq 2(x+y+z) \leq 2\left [ \sqrt{2(y^2+z^2)}+x \right ] < 2\left [ \sqrt{2.9}+\frac{3}{4} \right ]\approx 9,99 <10$

TH2 : $x <0$

       Đặt $f(x,y,z)=2(x+y+z)-xyz$

       Đễ dàng chứng minh được $f(x,y,z) \leq f(x,\sqrt{\frac{y^2+z^2}{2}},\sqrt{\frac{y^2+z^2}{2}})$

       Do đó ta chỉ cần chứng minh trong điều kiện $y=z$

       Bài toán trở thành : Cho $x^2+2y^2=9$. Tìm GTLN của $2(x+2y)-xy^2$ với $x <0$

       Đặt $-x=t>0\Rightarrow t^2+2y^2=9$, $\Rightarrow t=\sqrt{9-2y^2}$

       Ta sẽ chứng minh $f(x,y,z) \leq 10\Leftrightarrow 2(2y-\sqrt{9-2y^2})+\sqrt{9-2y^2}.y^2 \leq 10$

                                       $\Leftrightarrow (y^2-2)\sqrt{9-2y^2} \leq 10-4y$

      Bình phương 2 vế ta có đpcm

 Vậy ta luôn có $2(x+y+z)-xyz \leq 10$

Dấu = xảy ra khi $(x,y,z)=(-1;2;2)$ và các hoán vị của bộ số này 

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Toc Ngan: 23-07-2013 - 19:15

[bachhammer]

Mình có một cách thú vị hơn: Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopski ta có: $[2(x+y+z)-xyz]^{2}=[x(2-yz)+2(y+z)]^{2}\leq [x^{2}+(y+z)^{2}][(2-yz)^{2}+2^{2}]\Rightarrow [2(x+y+z)-xyz]^{2}\leq (9+2yz)(y^{2}z^{2}-4yz+8)$. Khi đó đặt t=yz ta có ngay: $[2(x+y+z)-xyz]^{2}\leq 2t^{3}+t^{2}-20t+72$ (1). Không mất tính tổng quát ta có thể giả sử: $|x|\geq |y|\geq |z|$. Từ đó ta sẽ suy ra $|x|^{2}\geq 3$. Vì vậy nên $|t|=|yz|\leq \frac{y^{2}+z^{2}}{2}=\frac{9-x^{2}}{2}\leq 3$ . Xét hàm số $f(t)=2t^{3}+t^{2}-20t+72$ trên đoạn $[-3;3]$. Sử dụng đạo hàm ta suy ra $f(t)_{max}=f(-2)=100$. Từ đó ta đi đến lời giải. Dấu bằng cũng tườn tự như trên.