Chủ đề này có 3 trả lời

[Strygwyr]

Cho các số thực $a$,$b$,$c$ $\in$ [$1$;$2$]. Tìm GTLN của $P=\frac{x^{3}+y^{3}+z^{3}}{xyz}$

 

[dark templar]

Cho các số thực $a$,$b$,$c$ $\in$ [$1$;$2$]. Tìm GTLN của $P=\frac{x^{3}+y^{3}+z^{3}}{xyz}$

Bài này có thể sử dụng đạo hàm để giải và cũng là cách giải tự nhiên nhất nhưng không phù hợp với THCS lắm. Ta sẽ đi theo hướng giải sơ cấp nhất.

 

Không mất tính tổng quát ,giả sử $1 \le a \le b \le c \le 2$. Khi này :

\[\left( {a - b} \right)\left( {{b^2} - {c^2}} \right) \ge 0 \Leftrightarrow \frac{{{b^2}}}{{ca}} \le \frac{b}{c} + \frac{c}{a} - \frac{c}{b}\]

 

Mặt khác:

 

\[\left\{ \begin{array}{l}\frac{{{a^2}}}{{bc}} \le \frac{{{a^2}}}{{ac}} = \frac{a}{c}\\\frac{{{c^2}}}{{ba}} \le \frac{{2c}}{b}\end{array} \right.\]

 

Do đó:

\[P = \frac{{{a^2}}}{{bc}} + \frac{{{b^2}}}{{ca}} + \frac{{{c^2}}}{{ab}} \le \left( {\frac{b}{c} + \frac{c}{b}} \right) + \left( {\frac{a}{c} + \frac{c}{a}} \right)\]

 

Để ý rằng $b \le c \le 2 \le 2b \Rightarrow \frac{b}{c} \in \left[ {\frac{1}{2};1} \right] \Rightarrow \frac{b}{c} + \frac{c}{b} \le \frac{5}{2}$.

 

Tương tự,ta cũng có $\frac{c}{a} + \frac{a}{c} \le \frac{5}{2}$

 

Nên suy ra $P \le 5.P_{\min}=5 \iff (a;b;c) \sim (1;1;2)$.

 

Spoiler

Nếu nhớ không nhầm thì trong cuốn Sáng tạo BĐT của anh Hùng có bài toán tổng quát...

[snowwhite]

Bài này có thể sử dụng đạo hàm để giải và cũng là cách giải tự nhiên nhất nhưng không phù hợp với THCS lắm. Ta sẽ đi theo hướng giải sơ cấp nhất.

 

Không mất tính tổng quát ,giả sử $1 \le a \le b \le c \le 2$. Khi này :

\[\left( {a - b} \right)\left( {{b^2} - {c^2}} \right) \ge 0 \Leftrightarrow \frac{{{b^2}}}{{ca}} \le \frac{b}{c} + \frac{c}{a} - \frac{c}{b}\]

 

Mặt khác:

 

\[\left\{ \begin{array}{l}\frac{{{a^2}}}{{bc}} \le \frac{{{a^2}}}{{ac}} = \frac{a}{c}\\\frac{{{c^2}}}{{ba}} \le \frac{{2c}}{b}\end{array} \right.\]

 

Do đó:

\[P = \frac{{{a^2}}}{{bc}} + \frac{{{b^2}}}{{ca}} + \frac{{{c^2}}}{{ab}} \le \left( {\frac{b}{c} + \frac{c}{b}} \right) + \left( {\frac{a}{c} + \frac{c}{a}} \right)\]

 

Để ý rằng $b \le c \le 2 \le 2b \Rightarrow \frac{b}{c} \in \left[ {\frac{1}{2};1} \right] \Rightarrow \frac{b}{c} + \frac{c}{b} \le \frac{5}{2}$.

 

Tương tự,ta cũng có $\frac{c}{a} + \frac{a}{c} \le \frac{5}{2}$

 

Nên suy ra $P \le 5.P_{\min}=5 \iff (a;b;c) \sim (1;1;2)$.

 

Spoiler

Nếu nhớ không nhầm thì trong cuốn Sáng tạo BĐT của anh Hùng có bài toán tổng quát...

có cách nào dễ hiểu hơn không bạn, nếu gặp dạng như thế này thì nên bắt đầu từ đâu, cách đánh giá như thế nào

[dark templar]

Như mình đã nói ,bài này cách giải tự nhiên nhất là sử dụng đạo hàm cho từng biến,nhưng do chủ topic đưa bài này vào bên THCS nên phải sử dụng các đánh giá "không tự nhiên" như trên.