Chủ đề này có 1 trả lời

[Lyer]

1. Gọi $f(n)$ là số cách phân tích n ra tổng bình phương các số.Hai cách chỉ khác nhau về thứ tự được xem như một. Ví dụ:

  $f(7)=1$ vì $$7^2=2^2+1^2+1^2+1^2$$

Chứng minh $f(2^k)+f(2^{k+1})=3$.

2.Gọi $f(n)$ là số các chữ số 1 trong biểu diễn thập phân của các số từ $1$ đến $n$.Ví dụ:$ f(2)=1 f(10)=2 f(12)=5.....$ .Tính $f(10^{100})$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi namcpnh: 19-05-2013 - 10:22

[Idie9xx]

1. Gọi $f(n)$ là số cách phân tích n ra tổng bình phương các số.Hai cách chỉ khác nhau về thứ tự được xem như một. Ví dụ:

  $f(7)=1$ vì $$7^2=2^2+1^2+1^2+1^2$$

Chứng minh $f(2^k)+f(2^{k+1})=3$.

Dễ có $2^{2n}=(2^n)^2 \Rightarrow f(2^{2n})=1$ và $2^{2n+1}=2 \cdot 2^{2n}=(2^n)^2+(2^n)^2 \Rightarrow f(2^{2n+1})=2$

Giữa $k$ và $k+1$ sẽ có 1 dạng là $2n$ và 1 dạng là $2n+1$ nên $f(2^k)+f(2^{k+1})=2+1=3$ (dpcm)