Cho a,b,c dương. CMR:
$\sum \frac{a}{(b+c)^{2}}\geq \frac{9}{4(a+b+c)}$
$\sum \frac{a}{(b+c)^{2}}\geq \frac{9}{4(a+b+c)}$
Bắt đầu bởi PTKBLYT9C1213, 19-05-2013 - 10:18
#1
Đã gửi 19-05-2013 - 10:18
PTKBLYT9C1213
-
- Thành viên
-
- 384 Bài viết
Sĩ quan
THE SHORTEST ANSWER IS DOING
#2
Đã gửi 19-05-2013 - 10:24
banhgaongonngon
-
- Thành viên
-
- 1046 Bài viết
Thượng úy
Cho a,b,c dương. CMR:
$\sum \frac{a}{(b+c)^{2}}\geq \frac{9}{4(a+b+c)}$
$\sum a.\sum \frac{a}{(b+c)^{2}}\geq \left ( \sum \frac{a}{b+c} \right )^{2}\overset{Nesbitt}{\geq }\frac{9}{4}$
Vậy $\sum \frac{a}{(b+c)^{2}}\geq \frac{9}{4(a+b+c)}$
- nhatquangsin và PTKBLYT9C1213 thích
#3
Đã gửi 11-04-2021 - 14:37
KietLW9
-
- Điều hành viên THCS
-
- 1737 Bài viết
Đại úy
Áp dụng Cô-si, ta có: $$a(b+c)^2+b(c+a)^2+c(a+b)^2=\frac{1}{2}.2a(b+c)(b+c)+\frac{1}{2}.2b(c+a)(c+a)+\frac{1}{2}.2c(a+b)(a+b)\leqslant\frac{1}{2}.\frac{8(a+b+c)^3}{27}+ \frac{1}{2}.\frac{8(a+b+c)^3}{27}+\frac{1}{2}.\frac{8(a+b+c)^3}{27}=\frac{4}{9}(a+b+c)^3$$
$\Rightarrow \sum_{cyc}\frac{a}{(b+c)^2}= \sum_{cyc}\frac{a^2}{a(b+c)^2}\geqslant \frac{(a+b+c)^2}{\sum_{cyc}a(b+c)^2} \geqslant \frac{(a+b+c)^2}{\frac{4}{9}(a+b+c)^3} =\frac{9}{4(a+b+c)}$
Đẳng thức xảy ra khi a = b = c
Trong cuộc sống không có gì là đẳng thức , tất cả đều là bất đẳng thức 
$\text{LOVE}(\text{KT}) S_a (b - c)^2 + S_b (c - a)^2 + S_c (a - b)^2 \geqslant 0\forall S_a,S_b,S_c\geqslant 0$
1 người đang xem chủ đề
0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh
