Chủ đề này có 4 trả lời

[phathuy]

Bài 1: Cho các số thực a, b thoả a>0 và $a+b\geq 1$. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức

$A=\frac{8a^{2}+b}{4a}+b^{2}$.

Bài 2: Cho $xt+yz\geq 12; x^{2}+y^{2}=9; t^{2}+z^{2}=16$. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức A=x+z..

Bài 3: Cho a, b, c thoả $a\leq b\leq c\leq 3; c\geq b+1; a+b\geq c.$. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức

$A=\frac{a}{a+1}+\frac{b}{b+1}-\frac{c}{c+1}$.

Bài 4: Cho các số dương a, y, z thoả xyz+x+y=3xy. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức

$A=\sqrt{\frac{xy}{x+y+1}}+\sqrt{\frac{y}{yz+z+1}}+\sqrt{\frac{x}{zx+z+1}}$

 

 

[Supermath98]

Bài 1: Cho các số thực a, b thoả a>0 và $a+b\geq 1$. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức

$A=\frac{8a^{2}+b}{4a}+b^{2}$.

Bài 2: Cho $xt+yz\geq 12; x^{2}+y^{2}=9; t^{2}+z^{2}=16$. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức A=x+z..

Bài 3: Cho a, b, c thoả $a\leq b\leq c\leq 3; c\geq b+1; a+b\geq c.$. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức

$A=\frac{a}{a+1}+\frac{b}{b+1}-\frac{c}{c+1}$.

Bài 4: Cho các số dương a, y, z thoả xyz+x+y=3xy. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức

$A=\sqrt{\frac{xy}{x+y+1}}+\sqrt{\frac{y}{yz+z+1}}+\sqrt{\frac{x}{zx+z+1}}$

Mình chén bài 1 trước! Đây là đề thi vào 10 Thanh Hoá năm ngoái!

Ta có $A=2a+\frac{b}{4a}+b^{2}= 2a-\frac{1}{4}+\frac{b}{4a}+\frac{1}{4}+$b^{2}$= 2a-\frac{1}{4}+b^{2}+\frac{a+b}{4}\geq 2a-\frac{1}{4}+b^{2}+\frac{1}{4a}= \left ( a+\frac{1}{4a} \right )+\left ( b^{2}-\frac{1}{4}+a \right )$

Lại có $a+b\geq 1\Leftrightarrow a\geq 1-b\Rightarrow A\geq a+\frac{1}{4a}+b^{2}-\frac{1}{4}+1-b= a+\frac{1}{4a}+b^{2}-b+\frac{3}{4}=a+\frac{1}{4a}+\frac{4a^{2}-4b+3}{4}$$\geq 2\sqrt{\frac{1}{4}}+\frac{\left ( 2b-1 \right )^{2}+2}{4}\geq \frac{3}{2}$

Vậy Min$A=\frac{3}{2}$ $\Leftrightarrow a=b=\frac{1}{2}$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Supermath98: 19-05-2013 - 12:03

[Katyusha]

Bài 4:

Đặt $t=\dfrac{1}{z}$, thế thì từ giả thiết ta có $\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}+\dfrac{1}{t}=3$.

 

Bây giờ:

$$P^2 \ge \dfrac{1}{3}\left(\dfrac{xy}{x+y+1}+\dfrac{yt}{y+t+1}+\dfrac{tx}{t+x+1}\right)^2$$

Theo Cauchy-Schwarz:

$$\dfrac{xy}{x+y+1}+\dfrac{yt}{y+t+1}+\dfrac{tx}{t+x+1}=\dfrac{1}{\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{xy}}+\dfrac{1}{\frac{1}{y}+\frac{1}{t}+\frac{1}{yt}}+\dfrac{1}{\frac{1}{t}+\frac{1}{x}+\frac{1}{tx}}$$

$$\ge \dfrac{9}{2.3+\frac{1}{xy}+\frac{1}{yt}+\frac{1}{tx}}\ge \dfrac{9}{6+\frac{1}{3}.\left( \frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\right)^2} \ge \dfrac{9}{6+3}=1$$

 

Vậy $\min P=1$ đạt được khi $x=y=z=1$.

 

[nguyencuong123]

Bài 4:

Đặt $t=\dfrac{1}{z}$, thế thì từ giả thiết ta có $\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}+\dfrac{1}{t}=3$.

 

Bây giờ:

$$P^2 \ge \dfrac{1}{3}\left(\dfrac{xy}{x+y+1}+\dfrac{yt}{y+t+1}+\dfrac{tx}{t+x+1}\right)^2$$

Theo Cauchy-Schwarz:

$$\dfrac{xy}{x+y+1}+\dfrac{yt}{y+t+1}+\dfrac{tx}{t+x+1}=\dfrac{1}{\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{xy}}+\dfrac{1}{\frac{1}{y}+\frac{1}{t}+\frac{1}{yt}}+\dfrac{1}{\frac{1}{t}+\frac{1}{x}+\frac{1}{tx}}$$

$$\ge \dfrac{9}{2.3+\frac{1}{xy}+\frac{1}{yt}+\frac{1}{tx}}\ge \dfrac{9}{6+\frac{1}{3}.\left( \frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\right)^2} \ge \dfrac{9}{6+3}=1$$

 

Vậy $\min P=1$ đạt được khi $x=y=z=1$.

 

Bạn ơi, sao có đoạn $P^{2}\geq \frac{1}{3}(\sum \frac{xy}{x+y+1})^{2}$ được nhỉ, với lại kết quả min P=1 đạt được khi x=y=z=1 cũng sai.

Vì khi thay x=y=z=1 thì P=@@..    

[Katyusha]

Bạn ơi, sao có đoạn $P^{2}\geq \frac{1}{3}(\sum \frac{xy}{x+y+1})^{2}$ được nhỉ, với lại kết quả min P=1 đạt được khi x=y=z=1 cũng sai.

Vì khi thay x=y=z=1 thì P=@@..    

Hix xin lỗi bạn mình làm nhầm nặng , đầu óc lúc đó bấn loạn thế nào không biết 

 

Trước tiên cũng với phép đổi biến như trên thì ta đưa biểu thức về dạng:

$$A=\sqrt{\dfrac{xy}{x+y+1}}+\sqrt{\dfrac{yz}{y+z+1}}+\sqrt{\dfrac{zx}{z+x+z}}=\sum\dfrac{1}{\sqrt{\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{xy}}}$$

 

Sử dụng Cauchy-Schwarz dạng phân thức:

$$\sum\dfrac{1}{\sqrt{\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{xy}}} \ge \dfrac{9}{\sqrt{\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{xy}}+\sqrt{\frac{1}{y}+\frac{1}{z}+\frac{1}{yz}}+\sqrt{\frac{1}{z}+\frac{1}{x}+\frac{1}{zx}}}$$

$$\ge \dfrac{9}{\sqrt{3.\left(\frac{2}{x}+\frac{2}{y}+\frac{2}{z}+\frac{1}{xy}+\frac{1}{yz}+\frac{1}{zx} \right)}}$$

 

Mà $\frac{1}{xy}+\frac{1}{yz}+\frac{1}{zx} \le \dfrac{1}{3}\left(\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}+\dfrac{1}{z} \right)^2=3$

 

Từ đó $A \ge \dfrac{9}{\sqrt{3.(6+3)}}=\sqrt{3}$

 

Hy vọng không có nhầm lẫn 

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Katyusha: 07-08-2013 - 06:32