Chủ đề này có 1 trả lời

[Sagittarius912]

Cho đa thức $f(x)$ có các hệ số nguyên, biết rằng tồn tại số nguyên dương a sao cho $f(i)$ không chia hết cho a với $i=1,2,....a$. Chứng minh răng với mọi số nguyên b, ta có $f(b)\neq 0$

[minhlaai29]

Dễ thấy rằng nếu $f(i)$ không chia hết cho $a$ nguyên dương thì $f(i)\neq 0$

Xét bổ đề quen thuộc: với $f(x)$ là đa thức nguyên và $a,b\in \mathbb{R}$ phân biệt ta có $f(a)-f(b)\vdots (a-b)$.

Áp dụng bổ đề ta có: $f(a+1)-f(1)$ chia hết cho $a$, theo giả thiết $f(1)$ không chia hết $a$ suy ra $f(a+1)$ cũng không chia hết cho $a$. Bằng phương pháp quy nạp ta có $f(b)$ khác $0$ với mọi $b$ nguyên dương. (1)
Tương tự $f(a)-f(0)$ chia hết cho $a$,  theo giả thiết $f(a)$ không chia hết $a$ suy ra $f(0)$ cũng không chia hết cho $a$. (2)

Tương tự $f(a-1)-f(-1)$ chia hết cho $a$, theo giả thiết $f(a-1)$ không chia hết $a$ suy ra $f(-1)$ cũng không chia hết cho $a$. Bằng phương pháp quy nạp ta có $f(b)$ khác $0$ với mọi $b$ nguyên âm. (3)

Từ (1)(2)(3) ta có điều phải chứng minh.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi minhlaai29: 20-05-2013 - 00:34