Tìm hàm số $f:\mathbb{R^+}\rightarrow \mathbb{R}$ thoả mãn:
$f(x)f(y)=y^{\alpha}f(\frac{x}{2})+x^{\beta}f(\frac{y}{2})$
Với $\alpha,\beta\in \mathbb{R}$
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi N H Tu prince: 20-05-2013 - 19:49
Tìm hàm số $f:\mathbb{R^+}\rightarrow \mathbb{R}$ thoả mãn:
$f(x)f(y)=y^{\alpha}f(\frac{x}{2})+x^{\beta}f(\frac{y}{2})$
Với $\alpha,\beta\in \mathbb{R}$
Xét 2 trường hợp:
Với $\alpha \neq \beta$ ta có:
$f(x)f(y)=y^{\alpha}f(\frac{x}{2})+x^{\beta}f(\frac{y}{2})=x^{\alpha}f(\frac{y}{2})+y^{\beta}f(\frac{x}{2})$
$\Leftrightarrow \dfrac{f(\frac{x}{2})}{x^{\alpha }-x^{\beta }}=\dfrac{f(\frac{y}{2})}{y^{\alpha }-y^{\beta }}\Rightarrow f(\frac{x}{2})=c\cdot (x^{\alpha }-x^{\beta })$
Khi cho $x=y=1$ tìm được $c=0$ nên $f(x)=0$ ( thỏa )
Với $\alpha = \beta$ ta có: $f(x)f(y)=y^{\alpha}f(\frac{x}{2})+x^{\alpha}f(\frac{y}{2})$
Cho $x=y$ có $(f(x))^2=2x^{\alpha}f(\frac{x}{2})$ $(*)$
Ta sẽ có : $f(x)f(y)=y^{\alpha}f(\frac{x}{2})+x^{\alpha}f(\frac{y}{2})\Leftrightarrow 2x^{\alpha}y^{\alpha}f(x)f(y)=y^{2\alpha}(f(x))^2+x^{2\alpha}(f(y))^2$
$\Leftrightarrow (y^{\alpha}f(x)-x^{\alpha}f(y))^2=0\Rightarrow f(x)=k\cdot x^{\alpha}$
Thay vào $(*)$ tìm được $k=2^{1-\alpha}$ và $k=0$
Vậy với $\alpha \neq \beta$ thì $f(x)=0$ thỏa. Với $\alpha = \beta$ thì $f(x)=0$ và $f(x)=2^{1-\alpha}\cdot x^{\alpha}$ thỏa
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Idie9xx: 21-05-2013 - 11:15
Xét 2 trường hợp:
Với $\alpha \neq \beta$ ta có:
$f(x)f(y)=y^{\alpha}f(\frac{x}{2})+x^{\beta}f(\frac{y}{2})=x^{\alpha}f(\frac{y}{2})+y^{\beta}f(\frac{x}{2})$
$\Leftrightarrow \dfrac{f(\frac{x}{2})}{x^{\alpha }-x^{\beta }}=\dfrac{f(\frac{y}{2})}{y^{\alpha }-y^{\beta }}\Rightarrow f(\frac{x}{2})=c\cdot (x^{\alpha }-x^{\beta })$
Khi cho $x=y=1$ tìm được $c=0$ nên $f(x)=0$ ( thỏa )
Với $\alpha = \beta$ ta có: $f(x)f(y)=y^{\alpha}f(\frac{x}{2})+x^{\alpha}f(\frac{y}{2})$
Cho $x=y$ có $(f(x))^2=2x^{\alpha}f(\frac{x}{2})$ $(*)$
Ta sẽ có : $f(x)f(y)=y^{\alpha}f(\frac{x}{2})+x^{\alpha}f(\frac{y}{2})\Leftrightarrow 2x^{\alpha}y^{\alpha}f(x)f(y)=y^{2\alpha}(f(x))^2+x^{2\alpha}(f(y))^2$
$\Leftrightarrow (y^{\alpha}f(x)-x^{\alpha}f(y))^2=0\Rightarrow f(x)=k\cdot x^{\alpha}$
Thay vào $(*)$ tìm được $k=2^{1-\alpha}$ và $k=0$
Vậy với $\alpha \neq \beta$ thì $f(x)=0$ thỏa. Với $\alpha = \beta$ thì $f(x)=0$ và $f(x)=2^{1-\alpha}\cdot x^{\alpha}$ thỏa
cho mình hỏi nếu x=y=1 thi mẫu số =0 rồi mà,mình còn yếu mong giúp dùm
cho mình hỏi nếu x=y=1 thi mẫu số =0 rồi mà,mình còn yếu mong giúp dùm
Thường thì mình không hay xét điều kiện ở mẫu nên sai bước này
Bạn cho nó có điều kiện là $x,y\neq 1$
Khi $f(\frac{x}{2})=c\cdot (x^{\alpha}-x^{\beta})\Rightarrow f(x)=c\cdot ((2x)^{\alpha}-(2x)^{\beta})$
Thay cái này vào phương trình ban đầu thì tìm được $c=0$
Ps: Thay vào mà có hàm thỏa ngoài $f(x)=0$ thì @@
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Idie9xx: 28-09-2013 - 22:16
0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh