Chủ đề này có 1 trả lời

[vipmath9x]

CMR:

$\frac{1}{b+c-a}+\frac{1}{a+c-b}+\frac{1}{a+b-c}\geq \frac{3\sqrt[4]{3}}{2\sqrt{S}}$

[DarkBlood]

CMR:

$$\frac{1}{b+c-a}+\frac{1}{a+c-b}+\frac{1}{a+b-c}\geq \frac{3\sqrt[4]{3}}{2\sqrt{S}}$$

Áp dụng hệ thức $Heron,$ ta có:

$$S=\dfrac{\sqrt{(a+b+c)(a+b-c)(b+c-a)(c+a-b)}}{4}$$

$$\sqrt{S}=\dfrac{\sqrt[4]{(a+b+c)(a+b-c)(b+c-a)(c+a-b)}}{2}$$

Đặt $b+c-a=x,\ a+c-b=y,\ a+b-c=z \Rightarrow a+b+c=x+y+z.$

Khi đó:

$$\dfrac{1}{b+c-a}+\dfrac{1}{a+c-b}+\dfrac{1}{a+b-c}\geq \dfrac{3\sqrt[4]{3}}{2\sqrt{S}}$$

$$\Leftrightarrow \dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}+\frac{1}{z}\geq \dfrac{3\sqrt[4]{3}}{2\dfrac{\sqrt[4]{(x+y+z)xyz}}{2}}=\sqrt[4]{\dfrac{3^5}{xyz(x+y+z)}}$$

Ta có:

$$\sum\dfrac{1}{x}=\sum\dfrac{3}{4x}+\sum\dfrac{1}{4x}\overset{C-S}{\geq}\sum\dfrac{3}{4x}+\dfrac{9}{4\sum x}$$

Lại có:

$$\sum\dfrac{3}{4x}+\dfrac{9}{4\sum x}\overset{AM-GM}{\geq}4\ .\ \sqrt[4]{\dfrac{3^5}{4^4\ .\ xyz(x+y+z)}}=\sqrt[4]{\dfrac{3^5}{xyz(x+y+z)}}$$

Vậy ta có điều phải chứng minh.

Đẳng thức xảy ra khi $x=y=z \Leftrightarrow a=b=c.$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi DarkBlood: 21-05-2013 - 17:43