Chủ đề này có 1 trả lời

[phanquockhanh]

    Cho tứ giác ABCD nội tiếp được trong một  đường tròn. Gọi a,b,c,d theo thứ tự là phân giác ngoài của các góc DAB, ABC, BCD, CDA. Gọi $K= a \cap b, L=b \cap c, M=b\cap d, N=d \cap a$ Chứng minh rằng tứ giác KLMN nội tiếp được trong một đường tròn có bán kính bằng $\frac{KM.LN}{AB+BC+CD+DA}$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi phanquockhanh: 17-07-2013 - 15:05

[WhjteShadow]

 

a)     Cho tứ giác ABCD nội tiếp được trong một  đường tròn. Gọi a,b,c,d theo thứ tự là phân giác ngoài của các góc DAB, ABC, BCD, CDA. Gọi $K= a \cap b, L=b \cap c, M=b\cap d, N=d \cap a$ Chứng minh rằng tứ giác KLMN nội tiếp được trong một đường tròn có bán kính bằng $\frac{KM.LN}{AB+BC+CD+DA}$

 

Bài này hình như không cần ĐK $ABCD$ nội tiếp thì phải bạn ạ ~^^~

Dễ thấy $\widehat{KAB}=\widehat{NAD},\widehat{KBA}=\widehat{CBL},\widehat{BCL}=\widehat{DCM},\widehat{ADN}=\widehat{MDC}$

Đầu tiên ta chứng minh $KLMN$ nội tiếp, thật vậy do $\widehat{KAB}=\frac{180^{o}-\widehat{DAB}}{2}$ và $\widehat{KBA}=\frac{180^{o}-\widehat{ABC}}{2}$ nên $\widehat{AKB}=\frac{\widehat{DAB}+\widehat{ABC}}{2}$.

Tương tự vậy ta có $\widehat{DMC}=\frac{\widehat{ADC}+\widehat{BCD}}{2}$.

Vậy nên : $\widehat{AKB}+\widehat{DMC}=\frac{\widehat{DAB}+\widehat{ABC}+\widehat{ADC}+\widehat{BCD}}{2}=180^{o}$

Nên $KLMN$ nội tiếp.

Tiếp đến ta chứng minh $R_{(KLMN)}=\frac{KM.LN}{AB+BC+CD+DA}$.

Gọi $S$ là giao của $AD$ và $BC$. $E,F$ là hình chiếu của $K,M$ xuống $BC$.

Do $\widehat{KAB}=\widehat{NAD}=\widehat{KAS}$ nên $AK$ là phân giác góc $\widehat{SAB}$, tương tự $KB$ là phân giác góc $\widehat{SBA}$ nên $K$ là tâm đường tròn nội tiếp tam giác $SAB\Rightarrow SK$ là phân giác $\widehat{ASB}$.

Mặt khác cũng dễ dàng chứng minh $M$ là tâm đường tròn bàng tiếp tam giác $SCD$ nên $SM$ là phân giác $\widehat{CSD}$ suy ra $S,K,M$ thẳng hàng. 

Đặt $\widehat{ASB}=2\alpha$, $\widehat{AKB}=90^{o}+\alpha$, ta có :

$$R_{(KLMN)}=\frac{LN}{2.\sin(90^{o}+\alpha)}=\frac{LN.KM}{2.\cos(\alpha).KM}\\ =\frac{LN.KM}{2.EF}=\frac{LN.KM}{2.(SF-SE)}=\frac{LN.KM}{2.\left(\frac{SC+SD+CD}{2}-\frac{SA+SB-AB}{2}\right)}\\ =\frac{KM.LN}{AB+BC+CD+DA}.$$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi WhjteShadow: 23-05-2013 - 11:58