Chủ đề này có 10 trả lời

[megan98]

1) Cho a,b,c là các số dương thỏa mãn $a+b+c\leq \frac{3}{2}$ . Chứng minh rằng

 

 $a+b+c+\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\geq \frac{15}{2}$

 

2) Giải phương trình : $x\sqrt{3x-2}+\sqrt{3-2x} = \sqrt{x^{3}+x^{2}+x+1}$

 

[25 minutes]

 

 

2) Giải phương trình : $x\sqrt{3x-2}+\sqrt{3-2x} = \sqrt{x^{3}+x^{2}+x+1}$

2, ĐK $\frac{2}{3} \leq x \leq \frac{3}{2}$

Áp dụng B.C.S ta có 

     $VT^2 \leq (x^2+1)(3x-2+3-2x)=(x^2+1)(x+1)=x^3+x^2+x+1=VP^2$

Dấu $=$ của bđt chính là nghiệm của phương trình

Ta có $\frac{\sqrt{3x-2}}{x}=\sqrt{3-2x}\Leftrightarrow x=1$

Vậy $x=1$ là nghiệm duy nhất của phương trình đã cho

[25 minutes]

1) Cho a,b,c là các số dương thỏa mãn $a+b+c\leq \frac{3}{2}$ . Chứng minh rằng

 

 $a+b+c+\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\geq \frac{15}{2}$

 

 

Áp dụng AM-GM ta có $a+\frac{1}{4a}\geq 1$

Tương tự 2 bđt còn lại rồi cộng vào ta được $a+b+c+\frac{1}{4a}+\frac{1}{4b}+\frac{1}{4c} \geq 3$  (1)

Lại có $\frac{3}{4}(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c})\geq \frac{3}{4}.\frac{9}{a+b+c} \geq \frac{3}{4}.\frac{9}{\frac{3}{2}}=\frac{9}{2}$ (2)

Từ (1) và (2) ta có đpcm

Dấu = xảy ra khi $a=b=c=\frac{1}{2}$

[Messi10597]

Bài 1:

Ta có: $P=a+b+c+\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}$ $\geq 3\sqrt[3]{abc}+\frac{3}{\sqrt[3]{abc}}$

Đặt $\sqrt[3]{abc}=t$ 

Ta có $\frac{3}{2}\geq a+b+c\geq 3\sqrt[3]{abc}$ $\Rightarrow \sqrt[3]{abc}\leq \frac{1}{2}$

Hay $0\leq t\leq \frac{1}{2}$

Ta có P= $3t +\frac{3}{t}=3t+\frac{3}{4t}+ \frac{9}{4t}\geq 2\sqrt{3t.\frac{3}{4t}}+\frac{9}{4.\frac{1}{2}}=\frac{15}{2}$ (đpcm)

Dấu "=" đạt $\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} a=b=c\\ abc=\frac{1}{8}\\ a+b+c=\frac{3}{2}\end{matrix}\right.$ $\Leftrightarrow a=b=c=\frac{1}{2}$

 

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Messi10597: 22-05-2013 - 13:21

[megan98]

thank các bạn. Mình có mấy bài nữa nè giúp mình nha.

 

Bài 3: Cho $x>0; y>0$. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức $P=5x+3y+\frac{12}{x}+\frac{16}{y}$.

Bài 4: Giải phương trình : $1+\sqrt[3]{x-16}=\sqrt[3]{x+3}$.

Bài 5: Cho hai số thực a,b thỏa mãn $a>b$ và $ab=2$. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: $Q=\frac{a^{2}+b^{2}}{a-b}$.

[megan98]

Tự sướng bài 5 phát 

Bài 5: Cho hai số thực a,b thỏa mãn $a>b$ và $ab=2$. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: $Q=\frac{a^{2}+b^{2}}{a-b}$.

 

Có $Q=\frac{a^{2}+b^{2}}{a-b}$

          $=\frac{(a-b)^{2}+2ab}{a-b}$

          $=a-b+\frac{2ab}{a-b}$

          $=a-b+\frac{4}{a-b}$ $(ab=2)$

Vì $a>b$ $\Rightarrow a-b>0$. 

Áp dụng BĐT Cô-si với 2 số không âm ta có:

$Q\geq 2\sqrt{(a-b)(\frac{4}{a-b})}=2.2=4$

Dấu "=" xảy ra $\Leftrightarrow (a-b)=\frac{4}{a-b}$

                        $\Leftrightarrow (a-b)^{2}=4$

                        $\Leftrightarrow a-b=2$ do $a-b>0$

Vậy minQ=4 khi a-b=2 và ab=2

[Messi10597]

thank các bạn. Mình có mấy bài nữa nè giúp mình nha.

 

Bài 3: Cho $x>0; y>0$. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức $P=5x+3y+\frac{12}{x}+\frac{16}{y}$.

Bài 4: Giải phương trình : $1+\sqrt[3]{x-16}=\sqrt[3]{x+3}$.

Bài 5: Cho hai số thực a,b thỏa mãn $a>b$ và $ab=2$. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: $Q=\frac{a^{2}+b^{2}}{a-b}$.

Bài 4: Đặt $\sqrt[3]{x+3}=u ;\sqrt[3]{x-16}=v$

Ta có hệ $\left\{\begin{matrix} u-v=1 & & \\ u^{3}-v^{3}=19 & & \end{matrix}\right.$ $\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} u-v=1 & & \\ (u-v)^{3}+3uv(u-v)=19 & & \end{matrix}\right.$ $\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} u-v=1 & & \\ uv=6 & & \end{matrix}\right.$ 

Giải hệ trên ta đc: $(u;v)=(3;2);(-2;-3)$

Nếu $\left\{\begin{matrix} u=3 & & \\ v=2 & & \end{matrix}\right.\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} \sqrt[3]{x+3}=3 & & \\ \sqrt[3]{x-16}=2 & & \end{matrix}\right.\Leftrightarrow x=24$

Nếu $\left\{\begin{matrix} u=-2 & & \\ v=-3 & & \end{matrix}\right.\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} \sqrt[3]{x+3}=-2 & & \\ \sqrt[3]{x-16}=-3 & & \end{matrix}\right.\Leftrightarrow x=-11$

Xong rồi,còn bài hình như cậu viết thiếu đề đấy,cậu xem lại xem nhé

[megan98]

Xong rồi,còn bài hình như cậu viết thiếu đề đấy,cậu xem lại xem nhé

Là bài 3 á. Mình làm thế nè

Áp dụng AM-GM ta có 

$\left\{\begin{matrix}5x+\frac{12}{x}\geq 2\sqrt{5x.\frac{12}{x}} = 2\sqrt{60}=4\sqrt{15} & \\ 3y+\frac{16}{y}\geq 2\sqrt{3y.\frac{16}{y}} = 2\sqrt{48}=8\sqrt{3} \end{matrix}\right.$

 

$\Rightarrow P =5x+3y+\frac{12}{x}+\frac{16}{y}\geq 4\sqrt{15}+8\sqrt{3} = 4\sqrt{3}(\sqrt{5}+2)$

Dấu "=" xảy ra $\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} 5x=\frac{12}{x}\\ 3y=\frac{16}{y} \end{matrix}\right.$

                        $\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} 5x^{2}=12\\ 3y^{2}=16 \end{matrix}\right.$

 

                        $\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} x^{2}=\frac{12}{5}\\ y^{2}=\frac{16}{3} \end{matrix}\right.$

 

                        $\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} x=\frac{2\sqrt{15}}{5} (\mathfrak{tm})\\ y=\frac{4\sqrt{3}}{3}(\mathfrak{tm}) \end{matrix}\right.$

 

Vậy minP =$4\sqrt{3}(\sqrt{5}+2)$ $\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} x=\frac{2\sqrt{15}}{5}\\ y=\frac{4\sqrt{3}}{3} \end{matrix}\right.$

[megan98]

Bài 6: Giải phương trình: $3\sqrt{x^{3}+8}=2x^{2}-3x+10$

Bài 7: Giải hệ phương trình sau: $\left\{\begin{matrix} x^{2}+y^{2}+xy+1=4y\\ (x^{2}+1)(x+y-2)=y \end{matrix}\right.$

Bài 8: Chứng minh rằng: $a^{2}+b^{2}+1\geq ab+a+b$, dấu bằng xảy ra khi a,b bằng bao nhiêu?

Bài 9: Cho a và b là các số thỏa mãn: $(\sqrt{a^{2}+2011}+a)(\sqrt{b^{2}+2011}+b)=2011$

          Tính $P=a^{2011}+b^{2011}+2011$.

[25 minutes]

 

Bài 8: Chứng minh rằng: $a^{2}+b^{2}+1\geq ab+a+b$, dấu bằng xảy ra khi a,b bằng bao nhiêu?

Bài 9: Cho a và b là các số thỏa mãn: $(\sqrt{a^{2}+2011}+a)(\sqrt{b^{2}+2011}+b)=2011$

          Tính $P=a^{2011}+b^{2011}+2011$.

Bài 8: BĐT đã cho tương đương với 

             $a^2+b^2+1-ab-a-b \geq 0$

$\Leftrightarrow \frac{1}{2}\left [ (a-b)^2+(a-1)^2+(b-1)^2 \right ] \geq 0$

Dấu = xảy ra khi $a=b=1$

Bài 9 : Nhân liên hợp ta được 

            $\frac{2011}{\sqrt{a^2+2011}-a}.\frac{2011}{\sqrt{b^2+2011}-b}=2011$

$\Rightarrow (\sqrt{a^2+2011}-a)(\sqrt{b^2+2011}-b)=2011$

$\Rightarrow (\sqrt{a^2+2011}-a)(\sqrt{b^2+2011}-b)=(\sqrt{a^2+2011}+a)(\sqrt{b^2+2011}+b)$

+) Nếu $a,b>0$, phương trình trên vô nghiệm

+) Nếu $a,b<0$, phương trình trên vô nghiệm

$\Rightarrow ab \leq 0$

Giả sử $a \leq 0, b \geq 0$

Đặt $-a=t, t \geq 0$

Phương trình trên trở thành 

    $(\sqrt{t^2+2011}+t)(\sqrt{b^2+2011}-b)=(\sqrt{t^2+2011}-t)(\sqrt{b^2+2011}+b)$ với $b,t \geq 0$

$\Leftrightarrow \frac{\sqrt{t^2+2011}-t}{\sqrt{t^2+2011}+t}=\frac{\sqrt{b^2+2011}-b}{\sqrt{b^2+2011}+b}$

$\Leftrightarrow \frac{2011}{(\sqrt{t^2+2011}+t)^2}=\frac{2011}{(\sqrt{b^2+2011}+b)^2}$

$\Leftrightarrow b=t\Leftrightarrow a+b=0$

Do đó $P=a^{2011}+b^{2011}+2011=(a+b).P(a,b)+2011=2011$

[banhgaongonngon]

Bài 6: Giải phương trình: $3\sqrt{x^{3}+8}=2x^{2}-3x+10$

Bài 7: Giải hệ phương trình sau: $\left\{\begin{matrix} x^{2}+y^{2}+xy+1=4y\\ (x^{2}+1)(x+y-2)=y \end{matrix}\right.$

 

Bài 6

 

$3\sqrt{(x+2)(x^{2}-2x+4)}=2(x^{2}-2x+4)+(x+2)$

$\Leftrightarrow \left ( \sqrt{\frac{x+2}{x^{2}-2x+4}} \right )^{2}-3\sqrt{\frac{x+2}{x^{2}-2x+4}}+2=0$...

 

Bài 7

 

$HPT\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} 1+(x+y)\frac{y}{x^{2}+1}=4\\ x+y-2=\frac{y}{x^{2}+1} \end{matrix}\right.$

 

Đặt $\left\{\begin{matrix} a=x+y\\ b=\frac{y}{x^{2}+y^{2}} \end{matrix}\right.$ ta có hệ 

$\left\{\begin{matrix} 1+ab=4b\\ a-2=b \end{matrix}\right.$

$\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} a=b+2\\ 1+b(b+2)=4b \end{matrix}\right.$

$\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} a=3\\ b=1 \end{matrix}\right.$

 

Do đó $\left\{\begin{matrix} x+y=3\\ y=x^{2}+1 \end{matrix}\right.$

$\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} y=3-x\\ x^{2}+x-2=0 \end{matrix}\right.$

$\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} x=1\\ y=2 \end{matrix}\right.\vee \left\{\begin{matrix} x=-2\\ y=5 \end{matrix}\right.$