Chủ đề này có 2 trả lời

[nguyenxuanthai]

Cho $ a;b;c \ge 0 $ thoả mãn: $ a^2 + b^2+c^2 =1 $. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: $$ \dfrac{2a+c}{1+bc} + \dfrac{2b+c}{1+ca} + \dfrac{a+b+c}{1+\sqrt{2}abc} $$

 

[thanhdotk14]

 

Cho $ a;b;c \ge 0 $ thoả mãn: $ a^2 + b^2+c^2 =1 $. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: $$ \dfrac{2a+c}{1+bc} + \dfrac{2b+c}{1+ca} + \dfrac{a+b+c}{1+\sqrt{2}abc} $$

 

Bài giải:

Ta cần chứng minh:$$\frac{2a+c}{1+bc}+\frac{2b+c}{1+ca}\le 2\sqrt{2} (1)$$

Và $$\frac{a+b+c}{1+\sqrt{2}abc}\le \sqrt{2} (2)$$

Trước tiên ta chứng minh $(1)$:

Ta có:

$$\frac{2a+c}{1+bc}=\frac{4a+2c}{1+a^2+(b+c)^2}\le \frac{8a+4c}{2+(a+b+c)^2}\le \frac{8a+4c}{2\sqrt{2}(a+b+c)}$$

Tương tự, ta cũng có:$$\frac{2b+c}{1+ca}\le \frac{8b+4c}{2\sqrt{2}(a+b+c)}$$

Cộng vế theo vế hai bất đẳng thức trên ta có $(1)$

Bây giờ, ta chứng minh $(2)$

Ta có:$$(2)\Leftrightarrow 2abc-(a+b+c)+\sqrt{2}\ge 0$$

Vì đây là hàm bậc nhất theo ẩn $abc$ và điều kiện đối xứng không ràng buộc $abc$ mà chỉ phụ thuộc vào $a+b+c$ và $ab+bc+ca$ nên áp dụng định lí $ABC$ trên $\mathbb{R^+}$ ta có: Hàm số đạt cực tiểu khi có hai biến bằng nhau hoặc có một biến bằng $0$

TH1 Giả sử $a=b$. Khi đó ta có: $2a^2+c^2=1$ và điều cần chứng minh trở thành:$$2a^2c-2a-c+\sqrt{2}\ge 0$$

$$\Leftrightarrow c(2a^2+c^2)-c^3-2a-c+\sqrt{2}\ge 0$$

$$\Leftrightarrow -c^3-2a+\sqrt{2}\ge 0$$

$$\Leftrightarrow -c^3-\sqrt{2(1-c^2)}+\sqrt{2}\ge 0(*)$$

Đặt $VP(*)=f(c)$. Ta có:$$f'(c)=0$$

$$\Leftrightarrow-3c^2+\frac{2c}{\sqrt{2(1-c^2)}}=0$$

Thay các nghiệm của phương trình đạo hàm bằng $0$ vào $f$ ta được $f_{min}=0$ khi $c=0, a=\frac{1}{\sqrt{2}}$

Vậy ta có được khi hai biến bằng nhau thì bất đẳng thức đúng.

TH2: Giả sử $c=0$ thì $(2)$ trở thành:$$a+b\le \sqrt{2}$$

Nhưng bất đẳng thức trên luôn đúng vì: $a+b\le\sqrt{2(a^2+b^2)}\le \sqrt{2(a^2+b^2+c^2)}=\sqrt{2}$

Từ hai trường hợp trên, ta đã chứng minh được $(2)$

Cộng vế theo vế $(1)$ và $(2)$ ta có GTLN của biêu thức đã cho là $3\sqrt{2}$

Và cũng từ cách chứng minh ở trên, ta cũng suy ra được đẳng thức xảy ra $\Leftrightarrow a=b=\frac{1}{\sqrt{2}}, c=0$

[luuvanthai]

Chứng minh (2) hơi dài ta có thể dùng BuNhiA như sau:

$(a+b+c-2abc)^{2}=(a(1-2bc)+(b+c)1)^{2}\leq (a^{2}+(b+c)^{2})((1-2bc)^{2}+1^{2})=(1+2bc)(4b^{2}c^{2}-4bc+2)\leq 2\Leftrightarrow 2b^{2}c^{2}(2bc-1)\leq 0$

Luôn đúng do $1=a^{2}+b^{2}+c^{2}\geq 2bc$