cho a,b,c là 3 số nguyên dương phân biệt sao cho $\frac{a\sqrt{2013}-b}{c\sqrt{2013}-a}$ là số hữu tỷ . Chứng minh $\frac{2a^3-b-c^3}{2a-b-c}$ là một số chính phương
Số chính phương
#2
Đã gửi 29-05-2013 - 16:54
cho a,b,c là 3 số nguyên dương phân biệt sao cho $\frac{a\sqrt{2013}-b}{c\sqrt{2013}-a}$ là số hữu tỷ . Chứng minh $\frac{2a^3-b-c^3}{2a-b-c}$ là một số chính phương
Mình đã giải ở đây:http://diendantoanho...14/#entry421944
"The first analogy that came to my mind is of immersing the nut in some softening liquid, and why not simply water? From time to time you rub so the liquid penetrates better, and otherwise you let time pass. The shell becomes more flexible through weeks and months—when the time is ripe, hand pressure is enough, the shell opens like a perfectly ripened avocado!" - Grothendieck
#3
Đã gửi 01-06-2013 - 00:02
Cách giải của bạn hơi dài. Mình xin góp 1 cach khác ngắn hơi bạn xem có đúng không:
khuya quá nên tôi phải đi ngủ, đê mai vậy
Nothing is impossible
#4
Đã gửi 01-06-2013 - 00:13
đặt $k=\frac{a.\sqrt{2013}-b}{c.\sqrt{2013}-a} <=> \sqrt{2013}(a-kc)=b-ka .\ do\\ VP \epsilon Z => VT \epsilon Z =>a=kc , b=ka => b=k^2c \\ => \frac{2a^3-b^3-c^3}{2a-b-c}=\frac{2k^3c^3-k^6c^3-c^3}{2kc-k^2c-c}=\frac{-c^3(k^6-2k^3+1)}{-c(k^2-2k+1)}=c^2(k^2+k+1)^2=(ck^2+ck+c)=(b+a+c)^2 => dpcm$
- DarkBlood yêu thích
#5
Đã gửi 01-06-2013 - 08:14
đặt x=$\frac{a\sqrt{2013}-b}{c\sqrt{2013}-a}$ ta có
x=$\frac{(a\sqrt{2013}-b)(c\sqrt{2013}+a)}{2013c^{2}-a^{2}}$=$\frac{2013ac-ab+\sqrt{2013}(a^{2}-bc)}{2013c^{2}-a^{2}}$ (1)
để x là số hữu tỉ với a,b,c nguyên dương thì $a^{2}-bc=0$<=> $a^{2}=bc$
thay $a^{2}=bc$ vào (1) ta có x=$\frac{2013ac-ab}{2013c^{2}-bc}$=$\frac{a(2013c-b)}{c(2013c-b)}=\frac{a}{c}$
suyra a=cx => b=$cx^{2}$
đến đây thì làm giống như vutuanhien và vanduongts đã làm
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi taideptrai: 01-06-2013 - 08:16
Nothing is impossible
1 người đang xem chủ đề
0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh