Chủ đề này có 4 trả lời

[vanduongts]

cho a,b,c là 3 số nguyên dương phân biệt sao cho $\frac{a\sqrt{2013}-b}{c\sqrt{2013}-a}$ là số hữu tỷ . Chứng minh $\frac{2a^3-b-c^3}{2a-b-c}$ là một số chính phương

[vutuanhien]

cho a,b,c là 3 số nguyên dương phân biệt sao cho $\frac{a\sqrt{2013}-b}{c\sqrt{2013}-a}$ là số hữu tỷ . Chứng minh $\frac{2a^3-b-c^3}{2a-b-c}$ là một số chính phương

Mình đã giải ở đây:http://diendantoanho...14/#entry421944

[taideptrai]

Cách giải của bạn hơi dài. Mình xin góp 1 cach khác ngắn hơi bạn xem có đúng không:

 khuya quá nên tôi phải đi ngủ, đê mai vậy 

[vanduongts]

đặt $k=\frac{a.\sqrt{2013}-b}{c.\sqrt{2013}-a} <=> \sqrt{2013}(a-kc)=b-ka .\ do\\ VP \epsilon Z => VT \epsilon Z =>a=kc , b=ka => b=k^2c \\ => \frac{2a^3-b^3-c^3}{2a-b-c}=\frac{2k^3c^3-k^6c^3-c^3}{2kc-k^2c-c}=\frac{-c^3(k^6-2k^3+1)}{-c(k^2-2k+1)}=c^2(k^2+k+1)^2=(ck^2+ck+c)=(b+a+c)^2 => dpcm$

[taideptrai]

đặt x=$\frac{a\sqrt{2013}-b}{c\sqrt{2013}-a}$ ta có

   x=$\frac{(a\sqrt{2013}-b)(c\sqrt{2013}+a)}{2013c^{2}-a^{2}}$=$\frac{2013ac-ab+\sqrt{2013}(a^{2}-bc)}{2013c^{2}-a^{2}}$  (1)

 

để x là số hữu tỉ với a,b,c nguyên dương thì $a^{2}-bc=0$<=> $a^{2}=bc$  

thay $a^{2}=bc$ vào (1) ta có x=$\frac{2013ac-ab}{2013c^{2}-bc}$=$\frac{a(2013c-b)}{c(2013c-b)}=\frac{a}{c}$

  suyra   a=cx  => b=$cx^{2}$

 

đến đây thì làm giống như vutuanhien và vanduongts đã làm

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi taideptrai: 01-06-2013 - 08:16