Chủ đề này có 6 trả lời

[mystery266]

Cho các số thực dương a,b,c thoả a+b+c=1

CM $\frac{a}{\sqrt{a^{2}+1}}+\frac{b}{\sqrt{b^{2}+1}}+\frac{c}{\sqrt{c^{2}+1}}\leq \frac{3}{\sqrt{10}}$

 

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi mystery266: 30-05-2013 - 12:53

[maxolo]

Cho các số thực dương a,b,c thoả a+b+c=1

CM $\frac{a}{\sqrt{a^{2}+1}}+\frac{b}{\sqrt{b^{2}+1}}+\frac{c}{\sqrt{c^{2}+1}}\leq \frac{3}{\sqrt{10}}$

 

 Xét hàm số $f(t) = \frac{t}{\sqrt{t^2+1}}$. Dễ dàng tính được

$$f'(t) = \frac{1}{\sqrt{(t^2+1)^3}}$$

Từ đó, dễ dàng thấy rằng $f'(t)$ là hàm giảm trên miền $(0,\infty)$. Vậy $f''(t) <0$ và do đó $f(t)$ là hàm lõm. Vậy, theo bất đẳng thức Jensen cho hàm lõm:

$$\frac{f(a) + f(b) +f( c )}{3} \leqslant f\left( \frac{a+b+c}{3}\right) = f(1/3) = \frac{1}{\sqrt{10}}$$

Từ đây dễ dàng thu được bất đẳng thức cần chứng minh.

[dungvuvanqctb97]

• cung dat f(X)nhu tren,ta co the chi ra f(X)<=27*10^1/2 (X-1/3)/10+10^-1/2

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi dungvuvanqctb97: 30-05-2013 - 13:52

[caovannct]

 

• cung dat f(X)nhu tren,ta co the chi ra f(X)<=27*10^1/2 (X-1/3)/10+10^-1/2

 

Bài này có thể cm đơn giảm bằng C S như sau:

$a^2+1=a^2+\frac{1}{9}+...+\frac{1}{9}\geq \frac{1}{10}(a+\frac{1}{3}+...+\frac{1}{3})^2=\frac{1}{10}(a+3)^2$

Do đó $\sum \frac{a}{\sum a^2+1}\leq \sqrt{10}(\sum \frac{a}{a+3})=\sqrt{10}(3-3\sum \frac{1}{a+3})\leq \sqrt{10}(3-3\frac{9}{\sum a+9})=\frac{3}{\sqrt{10}}$

OK???

[maxolo]

Bài này có thể cm đơn giảm bằng C S như sau:

$a^2+1=a^2+\frac{1}{9}+...+\frac{1}{9}\geq \frac{1}{10}(a+\frac{1}{3}+...+\frac{1}{3})^2=\frac{1}{10}(a+3)^2$

Do đó $\sum \frac{a}{\sum a^2+1}\leq \sqrt{10}(\sum \frac{a}{a+3})=\sqrt{10}(3-3\sum \frac{1}{a+3})\leq \sqrt{10}(3-3\frac{9}{\sum a+9})=\frac{3}{\sqrt{10}}$

OK???

 

Bất đẳng thức cuối cùng 

$$\frac{1}{a+3} + \frac{1}{b+3} + \frac{1}{c+3} \geqslant \frac{9}{a+b+c+9}$$ 

từ đâu ra nhỉ?

Có vẻ như từ cái này hả

$$\left(\frac{1}{A}+\frac{1}{B}+\frac{1}{C}\right)(A+B+C) \geqslant 9?$$

OK, hiểu rồi. Lời giải hay!!

[etucgnaohtn]

Cho các số thực dương a,b,c thoả a+b+c=1

CM $\frac{a}{\sqrt{a^{2}+1}}+\frac{b}{\sqrt{b^{2}+1}}+\frac{c}{\sqrt{c^{2}+1}}\leq \frac{3}{\sqrt{10}}$

Ta đi chứng minh : $\frac{a}{\sqrt{a^2+1}}\leq \sqrt{0,729} a+\frac{1}{\sqrt{10}}-\frac{\sqrt{0,729}}{3}$

Bài này số má khốn thật 

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi etucgnaohtn: 31-05-2013 - 10:20

[taminhhoang10a1]

Cách của mình: Lấy ý tưởng  $\frac{a}{{\sqrt {a^2  + 1} }} \le ma^2  + na$

Ta đi tìm m,n bằng giải hệ: $\left\{ \begin{array}{l}

 \frac{1}{{(a^2  + 1)\sqrt {a^2  + 1} }} = 2ma + n \\

 \frac{a}{{\sqrt {a^2  + 1} }} = ma^2  + na \\

 \end{array} \right.$

với  $a = \frac{1}{3}$

Tìm ra $\left\{ \begin{array}{l}

 m = \frac{{ - 9}}{{10\sqrt {10} }} \\

 n = \frac{{33}}{{10\sqrt {10} }} \\

 \end{array} \right.$

Xét hàm $\frac{a}{{\sqrt {a^2  + 1} }} + \frac{{9a^2 }}{{10\sqrt {10} }} - \frac{{33a}}{{10\sqrt {10} }}$

Với $a \in (0;3)$

Tìm ra $f(a) \le 0$

Tương tự với f(b) và f(c)

Mà $a^2  + b^2  + c^2  \ge 3$ suy ra dpcm

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi taminhhoang10a1: 31-05-2013 - 11:02