Chủ đề này có 1 trả lời

[Zaraki]

Cho số nguyên $k>1$ và số nguyên tố $p=6k+1$. Chứng minh với $m=2^p-1$ thì $$\dfrac{2^{m-1}-1}{127m}$$ là số tự nhiên.

[maxolo]

Cho số nguyên $k>1$ và số nguyên tố $p=6k+1$. Chứng minh với $m=2^p-1$ thì $$\dfrac{2^{m-1}-1}{127m}$$ là số tự nhiên.

Ta cần chứng minh $2^{m-1}-1$ chia hết cho $m$ và $127$. Hơn nữa, $\gcd(m,127) = 1$. 

 

Với $p$ là số nguyên tố thì $2^{p-1} \equiv 1 \mod p$ (Định lý nhỏ Fermat). Vậy ta có thể đặt $2^{p-1} -1 = qp$ với $q$ là số tự nhiên. Ta suy ra

$$2^{m-1} - 1 = 2^{2(2^{p-1} - 1)} -1 = 2^{2qp} - 1 = (2^p)^{2q}-1 = (2^p-1)(\ldots)$$

Ở đây, ta dùng $A^n -1 = (A-1)(A^{n-1} + A^{n-2} +\dots + 1)$.

Từ đó, $m \ | \ 2^{m-1} - 1$.

 

Vì $p=6k+1$ nên $m -1 = 2^p-2 = 2 (2^{6k}-1) = 2(64^k-1)$. Mặt khác, $64 \equiv 1 \mod 7 $ nên $64^k \equiv 1 \mod 7$. Ta suy ra $7 \ | \ m-1$, tức là $m-1 = 7s$ với $s$ là một số tự nhiên. Do đó

$$2^{m-1} - 1 = 2^{7s} - 1 = 128^s - 1 = (128 -1) (\ldots)$$

Vậy thì $127 \ | \ 2^{m-1}-1$.

 

Cuối cùng, ta cần chứng minh $\gcd(m,127) = 1$. Thực vậy, ước số của số Mersenne $M_p = 2^p-1$ chỉ có thể có dạng $2kp+1$. Trong khi đó $127 = 2\cdot 3^2\cdot 7 +1$ không có dạng này (vì $k>1$). Vậy, $127$ không là ước số của $m$ và do đó ta có điều cần chứng minh.