Đề thi vào THPT ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN 2012-2013
MÔN THI: TOÁN (Vòng 2)
Thời gian làm bài: 150 phút
Câu I. 1)Giải hệ phương trình
$\left\{\begin{matrix} xy(x+y)=2\\ 9xy(3x-y)+6=26x^{3}-2y^{3} \end{matrix}\right.$
2) Giải phương trình
$(\sqrt{x+4}-2)(\sqrt{4-x}+2)=2x$
Câu II. 1) Tìm tất hai chữ số cuối cùng của số
$A=4^{106}+57^{2012}$
2) Tìm giá trị lớn nhất của hàm số
$y=3\sqrt{2x-1}+x\sqrt{5-4x^{2}}$ Với $\frac{1}{2}\leq x\leq \frac{\sqrt{5}}{2}$
Câu III.Cho tam giác nhọn ABC (AB>AC) nội tiếp đường tròn tâm O .Giả sử M,N là hai điểm thuộc cung nhỏ BC sao cho MN song song với BC và tia AN nằm giữa hai tia AM,AB .Gọi P là hình chiếu của vuông góc của điểm C trên AN va Q là hình chiếu vuông góc của điểm M trên AB.
1)Giả sử CP cắt cắt QM tại điểm T.Chứng minh rằng T nằm trên đường tròn (O)
2)Gọi giao điểm của NQ và (O) tại R khác N.Giả sử AM cắt PQ tại S. Chứng minh 4 điểm A, R,Q,S cùng thuộc một đường tròn.
Câu IV. Với mỗi số nguyên n lớn hơn hoặc bằng 2 cố định xét các tập n số thực đôi một khác nhau $X={x_{1},x_{2},...,x_{n}}$ .Kí hiệu C(X) là số giá trị khác nhau của tổng $x_{i}+x_{j},(1\leq i\leq j\leq n)$.Tìm giá trị nhỏ nhất và lớn nhất của C(X).
p/s: Các bạn được khoảng bao nhiêu điểm ?