Chủ đề này có 18 trả lời

[phanducnhatminh]

Đề thi vào THPT ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN 2012-2013

MÔN THI: TOÁN (Vòng 2)

Thời gian làm bài: 150 phút

Câu I.          1)Giải hệ phương trình

$\left\{\begin{matrix} xy(x+y)=2\\ 9xy(3x-y)+6=26x^{3}-2y^{3} \end{matrix}\right.$

 2) Giải phương trình

                    $(\sqrt{x+4}-2)(\sqrt{4-x}+2)=2x$

Câu II.    1) Tìm tất hai chữ số cuối cùng của số

                                       $A=4^{106}+57^{2012}$

 2) Tìm giá trị lớn nhất của hàm số

      $y=3\sqrt{2x-1}+x\sqrt{5-4x^{2}}$ Với $\frac{1}{2}\leq x\leq \frac{\sqrt{5}}{2}$
Câu III.Cho tam giác nhọn ABC (AB>AC)  nội tiếp đường tròn tâm O .Giả sử M,N là hai điểm thuộc cung nhỏ BC sao cho MN song song với BC và tia AN nằm giữa hai tia AM,AB .Gọi P là hình chiếu của  vuông góc của điểm C trên AN va Q là hình chiếu vuông góc của điểm M trên AB.

1)Giả sử CP cắt  cắt QM tại điểm T.Chứng minh rằng T nằm trên đường tròn (O)

 2)Gọi giao điểm của NQ và (O) tại R khác N.Giả sử AM cắt PQ tại  S. Chứng minh 4 điểm A, R,Q,S cùng thuộc một đường tròn.

Câu IV.  Với mỗi số nguyên n  lớn hơn hoặc bằng 2 cố định xét các tập n số thực đôi một khác nhau $X={x_{1},x_{2},...,x_{n}}$ .Kí hiệu C(X) là số giá trị khác nhau của tổng $x_{i}+x_{j},(1\leq i\leq j\leq n)$.Tìm giá trị nhỏ nhất và lớn nhất của C(X).

                                  

p/s: Các bạn được khoảng bao nhiêu điểm ?

 

[vutuanhien]

Đề thi vào THPT ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN 2012-2013

MÔN THI: TOÁN (Vòng 2)

Thời gian làm bài: 150 phút

Câu I.          1)Giải hệ phương trình

$\left\{\begin{matrix} xy(x+y)=2\\ 9xy(3x-y)+6=26x^{3}-2y^{3} \end{matrix}\right.$

 2) Giải phương trình

                    $(\sqrt{x+4}-2)(\sqrt{4-x}+2)=2x$

Câu II.    1) Tìm tất hai chữ số cuối cùng của số

                                       $A=4^{106}+57^{2012}$

 2) Tìm giá trị lớn nhất của hàm số

      $y=3\sqrt{2x-1}+x\sqrt{5-4x^{2}}$ Với $\frac{1}{2}\leq x\leq \frac{\sqrt{5}}{2}$
Câu III.Cho tam giác nhọn ABC (AB>AC)  nội tiếp đường tròn tâm O .Giả sử M,N là hai điểm thuộc cung nhỏ BC sao cho MN song song với BC và tia AN nằm giữa hai tia AM,AB .Gọi P là hình chiếu của  vuông góc của điểm C trên AN va Q là hình chiếu vuông góc của điểm M trên AB.

1)Giả sử CP cắt  cắt QM tại điểm T.Chứng minh rằng T nằm trên đường tròn (O)

 2)Gọi giao điểm của NQ và (O) tại R khác N.Giả sử AM cắt PQ tại  S. Chứng minh 4 điểm A, R,Q,S cùng thuộc một đường tròn.

Câu IV.  Với mỗi số nguyên n  lớn hơn hoặc bằng 2 cố định xét các tập n số thực đôi một khác nhau $X={x_{1},x_{2},...,x_{n}}$ .Kí hiệu C(X) là số giá trị khác nhau của tổng $x_{i}+x_{j},(1\leq i\leq j\leq n)$.Tìm giá trị nhỏ nhất và lớn nhất của C(X).

                                  

p/s: Các bạn được khoảng bao nhiêu điểm ?

Câu I:Thay $6=3xy(x+y)$ vào pt thứ 2, lấy VT-VP rồi phân tích thành nhân tử ta đc $2(x-y)\left [ (3x-y)^2+(x-y)^2 \right ]=0$. Dễ thấy biểu thức trong ngoặc vuông không có nghiệm thỏa mãn đề bài, suy ra hpt có nghiệm duy nhất $x=y=1$

Câu II

1)Ta có $57^4\equiv 1 (mod 100)\Rightarrow 57^{2012}\equiv 1 (mod 100);41^5\equiv 1 (mod 100)\Rightarrow 41^{106}\equiv 41 (mod 100)$.

Vậy 2 chữ số tận cùng của A là $42$

2)Áp dụng BĐT AM-GM, ta có $3\sqrt{2x-1}=3\sqrt{(2x-1).1}\leq 3\frac{2x-1+1}{2}=3x;x\sqrt{5-4x^2}=\sqrt{x^2(5-4x^2)}\leq \frac{x^2+5-4x^2}{2}=\frac{5-3x^2}{2}$.

Cộng 2 BĐT này lại ta có $y\leq \frac{6x+5-3x^2}{2}=\frac{-3(x-1)^2+8}{2}\leq 4$. Vậy GTNN của y là $4$

Câu IV (phần GTLN). Số giá trị của tổng $x_{i}+x_{j}$ là $\frac{n(n-1)}{2}$. Suy ra $C(X)\leq \frac{n(n-1)}{2}$. Đẳng thức xảy ra khi tất cả các tổng $a_{i}+a_{j}$ khác nhau. Tồn tại 1 tập hợp như vậy, chẳng hạn ${3, 3^2, 3^3,...,3^{n}}$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi vutuanhien: 01-06-2013 - 14:28

[minhduc3001]

Đây là thi thật à bạn?

[vutuanhien]

Đây là thi thật à bạn?

Đúng rồi đó. Đây là đề thi thật của trường chuyên ĐHKHTN năm vừa rồi

[ongngua97]

Đề thi vào THPT ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN 2012-2013

MÔN THI: TOÁN (Vòng 2)

 

 2) Giải phương trình

                    $(\sqrt{x+4}-2)(\sqrt{4-x}+2)=2x$

 

Dùng liên hợp, ta có:

 

PT $\Leftrightarrow \frac{(\sqrt{x+4}-2)(\sqrt{x+4}+2)(\sqrt{4-x}+2)}{\sqrt{x+4}+2}=2x\Leftrightarrow \frac{x(\sqrt{4-x}+2)}{\sqrt{x+4}+2}=2x\Leftrightarrow x=0\vee 2\sqrt{x+4}+2=\sqrt{4-x}$

(pt này vô nghiệm)

 

Vậy pt có nghiệm duy nhất x=0.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi ongngua97: 01-06-2013 - 15:08

[phanducnhatminh]

Dùng liên hợp, ta có:

 

PT $\Leftrightarrow \frac{(\sqrt{x+4}-2)(\sqrt{x+4}+2)(\sqrt{4-x}+2)}{\sqrt{x+4}+2}=2x\Leftrightarrow \frac{x(\sqrt{4-x}+2)}{\sqrt{x+4}+2}=2x\Leftrightarrow x=0\vee 2\sqrt{x+4}+2=\sqrt{4-x}$

(pt này vô nghiệm)

 

Vậy pt có nghiệm duy nhất x=0.

Phương trình $2\sqrt{x+4}+2=\sqrt{4-x}$có nghiệm là$\frac{-96}{25}$đấy!

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi phanducnhatminh: 01-06-2013 - 18:33

[duaconcuachua98]

 

Câu III.Cho tam giác nhọn ABC (AB>AC)  nội tiếp đường tròn tâm O .Giả sử M,N là hai điểm thuộc cung nhỏ BC sao cho MN song song với BC và tia AN nằm giữa hai tia AM,AB .Gọi P là hình chiếu của  vuông góc của điểm C trên AN va Q là hình chiếu vuông góc của điểm M trên AB.

1)Giả sử CP cắt  cắt QM tại điểm T.Chứng minh rằng T nằm trên đường tròn (O)

 2)Gọi giao điểm của NQ và (O) tại R khác N.Giả sử AM cắt PQ tại  S. Chứng minh 4 điểm A, R,Q,S cùng thuộc một đường tròn.

 

 

a) Hình thang BCNM nội tiếp (O) nên BCNM là hình thang cân

Tứ giác APQT nội tiếp nên $\widehat{QAP}=\widehat{QTP}$

Lại có: $\widehat{QAP}=\widehat{BAN}=\widehat{BMN}=\widehat{CNM}\Rightarrow \widehat{CTM}=\widehat{QTP}=\widehat{QAP}=\widehat{CNM}\Rightarrow dpcm$

b) Ta có: $\widehat{TPQ}=\widehat{TAQ}= \widehat{TAB}= \widehat{TCB}\Rightarrow PQ//BC\Rightarrow PS//MN\Rightarrow \widehat{ASP}=\widehat{AMN}\Rightarrow \widehat{ASQ}=\widehat{AMN}\Rightarrow \widehat{ASQ}+\widehat{ARQ}=\widehat{AMN}+\widehat{ARN}=180^{\circ}\Rightarrow dpcm$

[trananh2771998]

Không biết thi năm nay câu hình có dễ ntn không

[ongngua97]

Phương trình $2\sqrt{x+4}+2=\sqrt{4-x}$có nghiệm là$\frac{-96}{25}$đấy!

ừ đúng rồi, anh sót...

[phanducnhatminh]

Câu I:Thay $6=3xy(x+y)$ vào pt thứ 2, lấy VT-VP rồi phân tích thành nhân tử ta đc $2(x-y)\left [ (3x-y)^2+(x-y)^2 \right ]=0$. Dễ thấy biểu thức trong ngoặc vuông không có nghiệm thỏa mãn đề bài, suy ra hpt có nghiệm duy nhất $x=y=1$

Câu II

1)Ta có $57^4\equiv 1 (mod 100)\Rightarrow 57^{2012}\equiv 1 (mod 100);41^5\equiv 1 (mod 100)\Rightarrow 41^{106}\equiv 41 (mod 100)$.

Vậy 2 chữ số tận cùng của A là $42$

2)Áp dụng BĐT AM-GM, ta có $3\sqrt{2x-1}=3\sqrt{(2x-1).1}\leq 3\frac{2x-1+1}{2}=3x;x\sqrt{5-4x^2}=\sqrt{x^2(5-4x^2)}\leq \frac{x^2+5-4x^2}{2}=\frac{5-3x^2}{2}$.

Cộng 2 BĐT này lại ta có $y\leq \frac{6x+5-3x^2}{2}=\frac{-3(x-1)^2+8}{2}\leq 4$. Vậy GTNN của y là $4$

Câu IV (phần GTLN). Số giá trị của tổng $x_{i}+x_{j}$ là $\frac{n(n-1)}{2}$. Suy ra $C(X)\leq \frac{n(n-1)}{2}$. Đẳng thức xảy ra khi tất cả các tổng $a_{i}+a_{j}$ khác nhau. Tồn tại 1 tập hợp như vậy, chẳng hạn ${3, 3^2, 3^3,...,3^{n}}$

Đề là 4 chứ có phải 41 đâu bạn ?

Câu II

1)Ta có $57^4\equiv 1 (mod 100)\Rightarrow 57^{2012}\equiv 1 (mod 100)$

$4^{10}\equiv 76 (100)=>4^{100}\equiv 76(100);4^{6}\equiv 96(100)=>4^{106}\equiv 96(100)=>4^{106}+57^{2012}\equiv 97(100)$ 

                                       Vậy 2cs tc của A là 97

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi phanducnhatminh: 01-06-2013 - 20:24

[phanducnhatminh]

11111111111111.JPG

 

a) Hình thang BCNM nội tiếp (O) nên BCNM là hình thang cân

Tứ giác APQT nội tiếp nên $\widehat{QAP}=\widehat{QTP}$

Lại có: $\widehat{QAP}=\widehat{BAN}=\widehat{BMN}=\widehat{CNM}\Rightarrow \widehat{CTM}=\widehat{QTP}=\widehat{QAP}=\widehat{CNM}\Rightarrow dpcm$

b) Ta có: $\widehat{TPQ}=\widehat{TAQ}= \widehat{TAB}= \widehat{TCB}\Rightarrow PQ//BC\Rightarrow PS//MN\Rightarrow \widehat{ASP}=\widehat{AMN}\Rightarrow \widehat{ASQ}=\widehat{AMN}\Rightarrow \widehat{ASQ}+\widehat{ARQ}=\widehat{AMN}+\widehat{ARN}=180^{\circ}\Rightarrow dpcm$

Chú ý đề bài là AB>AC cơ mà. Bạn vẽ thành AB<AC rồi! Công nhận bài hình năm ngoái dễ thật.

[andymurray44]

Câu hệ:

Từ phương trình đầu tiên $\Rightarrow 3xy(x+y)= 6$ sau đó thay vào phương trình sau được phương trình bậc 3 giải được.

 

Câu II:a)Đầu bài phải là 41 mà đâu phải 4.

Ta có $41^{106}= 41.41^{105}\equiv 41(mod 100)\Rightarrow 41^{106}$ có tận cùng là 41

$57^{2012}=57^{4^{503}}\equiv 1(mod 100)\Rightarrow 57^{2012}$ có tận cùng là 1.Suy ra tận cùng của 2 số cộng lại là 42.

[andymurray44]

Đề là 4 chứ có phải 41 đâu bạn ?

Câu II

1)Ta có $57^4\equiv 1 (mod 100)\Rightarrow 57^{2012}\equiv 1 (mod 100)$

$4^{10}\equiv 76 (100)=>4^{100}\equiv 76(100);4^{6}\equiv 96(100)=>4^{106}\equiv 96(100)=>4^{106}+57^{2012}\equiv 97(100)$ 

                                       Vậy 2cs tc của A là 97

Đề thi thật là 41 mà,lên google mà tìm lại đề,nhiều lắm.

[phanducnhatminh]

Đề thi thật là 41 mà,lên google mà tìm lại đề,nhiều lắm.

À mình chép nhầm đề xin lỗi và cảm ơn!

[0132345]

Ai làm luôn phần GTNN câu cuối đi

[andymurray44]

GTNN này,giả sử $x_{1}< x_{2}<...<x_{n}$ .Ta xét n-1 tổng chứa $x_{1}$ là: $x_{1}+x_{2},x_{1}+x_{3},...,x_{1}+x_{n}$.Dễ thấy n-1 tổng này luôn khác nhau.Trong các tổng chứa $x_{2}$ chỉ có duy nhất chắc chắn $x_{2}+x_{n}$ là khác toàn bộ các tổng của $x_{1}$ nói trên.Tương tự $x_{3}+x_{n},x_{4}+x_{n},...,x_{n-1}+x_{n}$ cũng khác các tổng chứa $x_{1}$ và hiển nhiên là chúng khác nhau.Số tổng khác nhau ít nhất là: (n-1)+(n-2)=2n-3 tổng.Đây chỉ là giá trị nhỏ nhất vì các tổng được nêu ra ở trên trong bất kì trường hợp nào cũng luôn khác nhau.VD:1 dãy số tự nhiên liên tiếp bất kì

[vietquang1998]

11111111111111.JPG

 

a) Hình thang BCNM nội tiếp (O) nên BCNM là hình thang cân

Tứ giác APQT nội tiếp nên $\widehat{QAP}=\widehat{QTP}$

Lại có: $\widehat{QAP}=\widehat{BAN}=\widehat{BMN}=\widehat{CNM}\Rightarrow \widehat{CTM}=\widehat{QTP}=\widehat{QAP}=\widehat{CNM}\Rightarrow dpcm$

b) Ta có: $\widehat{TPQ}=\widehat{TAQ}= \widehat{TAB}= \widehat{TCB}\Rightarrow PQ//BC\Rightarrow PS//MN\Rightarrow \widehat{ASP}=\widehat{AMN}\Rightarrow \widehat{ASQ}=\widehat{AMN}\Rightarrow \widehat{ASQ}+\widehat{ARQ}=\widehat{AMN}+\widehat{ARN}=180^{\circ}\Rightarrow dpcm$

Tại sao tứ giác APQT lại nội tiếp??

[duaconcuachua98]

Tại sao tứ giác APQT lại nội tiếp??

Có 2 góc $AQT$ và $APT$ vuông đó

[vietquang1998]

Có 2 góc $AQT$ và $APT$ vuông đó

à ừ, tớ quên ko xem kĩ đề bài P, Q là hình chiếu