Chủ đề này có 5 trả lời

[maxolo]

Cho dãy (kiểu Fibonacci) $a_0=1$, $a_1=2$ và $a_n = a_{n-1}+2a_{n-2}$. Tính $\lim_{n\to \infty}2^{-n}{a_n}$.

[dark templar]

Cho dãy (kiểu Fibonacci) $a_0=1$, $a_1=2$ và $a_n = a_{n-1}+2a_{n-2}$. Tính $\lim_{n\to \infty}2^{-n}{a_n}$.

Quy nạp cho $a_{n}=2^{n} \quad \forall n \in \mathbb{N}$,suy ra $\lim_{n \to \infty}\frac{a_{n}}{2^{n}}=1$.

[maxolo]

Quy nạp cho $a_{n}=2^{n} \quad \forall n \in \mathbb{N}$,suy ra $\lim_{n \to \infty}\frac{a_{n}}{2^{n}}=1$.

 

Đúng rùi. Bài này đơn giản vì cách chọn $a_0$ và $a_1$. Có thể tính giới hạn đó theo $a_0$ và $a_1$ tuỳ ý không?

[dark templar]

Đúng rùi. Bài này đơn giản vì cách chọn $a_0$ và $a_1$. Có thể tính giới hạn đó theo $a_0$ và $a_1$ tuỳ ý không?

Có thể tính được chứ bạn Giả sử $a_0=x;a_1=y$.

 

Ta dễ thấy $a_{n}=c_1(-1)^{n}+c_22^{n}$ trong đó $\left\{ \begin{array}{l}{c_1} + {c_2} = x\\- {c_1} + 2{c_2} = y\end{array} \right. \quad (\star)$.

 

Vậy ta sẽ có $\mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } \frac{{{a_n}}}{{{2^n}}} = \mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } \frac{{{c_1}{{\left( { - 1} \right)}^n} + {c_2}{2^n}}}{{{2^n}}} = {c_2}$.

 

Mặt khác từ $(\star)$,bạn có thể tính được $c_2=\frac{x+y}{3}$,suy ra $\mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } \frac{{{a_n}}}{{{2^n}}} = \frac{{x + y}}{3} =\boxed{\displaystyle \frac{{{a_0} + {a_1}}}{3}}$

[maxolo]

Có thể tính được chứ bạn Giả sử $a_0=x;a_1=y$.

 

Ta dễ thấy $a_{n}=c_1(-1)^{n}+c_22^{n}$ trong đó $\left\{ \begin{array}{l}{c_1} + {c_2} = x\\- {c_1} + 2{c_2} = y\end{array} \right. \quad (\star)$.

 

Vậy ta sẽ có $\mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } \frac{{{a_n}}}{{{2^n}}} = \mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } \frac{{{c_1}{{\left( { - 1} \right)}^n} + {c_2}{2^n}}}{{{2^n}}} = {c_2}$.

 

Mặt khác từ $(\star)$,bạn có thể tính được $c_2=\frac{x+y}{3}$,suy ra $\mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } \frac{{{a_n}}}{{{2^n}}} = \frac{{x + y}}{3} =\boxed{\displaystyle \frac{{{a_0} + {a_1}}}{3}}$

Cách giải hay! Mình nhìn vấn đề theo đại số tuyến tính và hi vọng cách nhìn này cũng thú vị. Ta đặt vectơ 

$$X_k = \begin{pmatrix}a_k \\ a_{k-1}\end{pmatrix}$$

Khi đó

$$ X_k = \begin{pmatrix} 1&2 \\ 1&0 \end{pmatrix} X_{k-1}, \quad k \geq 2.$$

Từ đó ta có

$$X_{n+1} = A^n X_{1}$$

Bài toán đưa về tính ma trận $A^n$. Để tính $A^n$ ta chéo hóa nó 

$$A = \begin{pmatrix} -1&2\\ 1&1\end{pmatrix} \begin{pmatrix} -1 &0 \\ 0 &2\end{pmatrix} \begin{pmatrix}-1/3&2/3\\ 1/3 &1/3\end{pmatrix}$$

Từ đó tính được $A^n$:

$$A^n = \begin{pmatrix} -1&2\\ 1&1\end{pmatrix} \begin{pmatrix} (-1)^n &0 \\ 0 &2^n\end{pmatrix} \begin{pmatrix}-1/3&2/3\\ 1/3 &1/3\end{pmatrix}$$

và do đó tính được $X_n$ như trên.

 

Cách giải này giải thích tại sao bạn tìm được hai giá trị $-1$ và $2$ như trên. Nó thực ra là giá trị riêng của $A$.

[dark templar]

 

Cách giải hay! Mình nhìn vấn đề theo đại số tuyến tính và hi vọng cách nhìn này cũng thú vị. Ta đặt vectơ 

$$X_k = \begin{pmatrix}a_k \\ a_{k-1}\end{pmatrix}$$

Khi đó

$$ X_k = \begin{pmatrix} 1&2 \\ 1&0 \end{pmatrix} X_{k-1}, \quad k \geq 2.$$

Từ đó ta có

$$X_{n+1} = A^n X_{1}$$

Bài toán đưa về tính ma trận $A^n$. Để tính $A^n$ ta chéo hóa nó 

$$A = \begin{pmatrix} -1&2\\ 1&1\end{pmatrix} \begin{pmatrix} -1 &0 \\ 0 &2\end{pmatrix} \begin{pmatrix}-1/3&2/3\\ 1/3 &1/3\end{pmatrix}$$

Từ đó tính được $A^n$:

$$A^n = \begin{pmatrix} -1&2\\ 1&1\end{pmatrix} \begin{pmatrix} (-1)^n &0 \\ 0 &2^n\end{pmatrix} \begin{pmatrix}-1/3&2/3\\ 1/3 &1/3\end{pmatrix}$$

và do đó tính được $X_n$ như trên.

 

Cách giải này giải thích tại sao bạn tìm được hai giá trị $-1$ và $2$ như trên. Nó thực ra là giá trị riêng của $A$.

 

Cách giải hay thật đấy,mình thì không giỏi về bên Đại Số tuyến tính nên cách làm của mình là dựa trên kiến thức Dãy tuyến tính cấp 2 với PT đặc trưng là $\lambda^2-\lambda-2=0$,từ đó sẽ có hệ số $-1$ và $2$

 

Có lẽ cách làm của bạn là phần chứng minh cho Dãy tuyến tính cấp 2 .