Cho a,b,c không âm thoả mãn: $a+b+c=1$. Tìm GTLN của: $a^{2}b^{3}+b^{2}c^{3}+c^{2}a^{3}$
Tìm max $a^{2}b^{3}+b^{2}c^{3}+c^{2}a^{3}$
#1
Đã gửi 02-06-2013 - 20:06
Thà đừng yêu để giữ mình trong trắng
Lỡ yêu rôì nhất quyết phải thành công
#2
Đã gửi 02-06-2013 - 21:12
bài này rất khó chỉ nhưng người xinh gái mới làm được do đây là BĐT hoán vị nên giả sử $c\doteq max\left \{ a,b,c \right \}$ đặt $f(a,b,c)=a^{2}b^{3}+b^{2}c^{3}+c^{2}a^{3}$ xét hiệu$f(a,b,c)-f(0,a+b,c)$ vì c max dễ thấy $f(a,b,c)-f(0,a+b,c)\leq 0$ nên $f(a,b,c)\leq f(0,a+b,c)\doteq (a+b)^{2}c^{3}+c^{2}(a+b)^{3}=(1-c)^{2}c^{3}+c^{2}(1-c)^{3}=c^{2}(1-c)^{2}(c+1-c)\doteq (c(1-c))^{2}$ mình không biết tìm GTLN của $c(1-c)$ huhu
- cool hunter, hoangkkk, tacloanbo và 1 người khác yêu thích
#3
Đã gửi 02-06-2013 - 22:04
bài này rất khó chỉ nhưng người xinh gái mới làm được do đây là BĐT hoán vị nên giả sử $c\doteq max\left \{ a,b,c \right \}$ đặt $f(a,b,c)=a^{2}b^{3}+b^{2}c^{3}+c^{2}a^{3}$ xét hiệu$f(a,b,c)-f(0,a+b,c)$ vì c max dễ thấy $f(a,b,c)-f(0,a+b,c)\leq 0$ nên $f(a,b,c)\leq f(0,a+b,c)\doteq (a+b)^{2}c^{3}+c^{2}(a+b)^{3}=(1-c)^{2}c^{3}+c^{2}(1-c)^{3}=c^{2}(1-c)^{2}(c+1-c)\doteq (c(1-c))^{2}$ mình không biết tìm GTLN của $c(1-c)$ huhu
Chào bạn xinh gái, thực sự là đưa ra bài này thì tớ muốn mọi người sử dụng các phương pháp cổ điển như AM-GM, Cauchy-Schwart, hay sắp thứ tứ biến, thậm chí biến đổi tương đương..., CÁch của bạn có vẻ "hiện đại" quá đối với tớ, thực sự là tớ không biết dồn biến là gì
p/s1: tớ rất mong làm quen với những bạn xinh gái, học giỏi, nếu có thể bạn có thể cho xin yahoo. hay facebook k, để t hỏi chút về dồn biến, hay có tài liệu dồn biến thì share cho t với.
p/s2: Mọi người tiếp tục đóng góp lời giải khác để t mở rộng tầm mắt nhé
- hoangkkk yêu thích
Thà đừng yêu để giữ mình trong trắng
Lỡ yêu rôì nhất quyết phải thành công
#6
Đã gửi 02-06-2013 - 22:14
bài này rất khó chỉ nhưng người xinh gái mới làm được do đây là BĐT hoán vị nên giả sử $c\doteq max\left \{ a,b,c \right \}$ đặt $f(a,b,c)=a^{2}b^{3}+b^{2}c^{3}+c^{2}a^{3}$ xét hiệu$f(a,b,c)-f(0,a+b,c)$ vì c max dễ thấy $f(a,b,c)-f(0,a+b,c)\leq 0$ nên $f(a,b,c)\leq f(0,a+b,c)\doteq (a+b)^{2}c^{3}+c^{2}(a+b)^{3}=(1-c)^{2}c^{3}+c^{2}(1-c)^{3}=c^{2}(1-c)^{2}(c+1-c)\doteq (c(1-c))^{2}$ mình không biết tìm GTLN của $c(1-c)$ huhu
tại sao vậy???
#8
Đã gửi 02-06-2013 - 22:21
#10
Đã gửi 03-06-2013 - 15:22
Ta sẽ chứng minh $a^2b^3+b^2c^3+c^2a^3\leq 1$
Sau đây là 1 cách chứng minh ít ai nghĩ tới
Ta đưa biểu thức về hàm bậc nhất $f(a)=a(ab^3+a^2c^2)+b^2c^3-1$
Xét $ab^3+a^2c^2=0\Rightarrow b^2c^3-1\leq 0$ (Luôn đúng vì $b,c\leq 1$)
Xét $ab^3+a^2c^2\neq 0$
Suy ra đây là hàm đồng biến và $a\in [0,1]$
Cần chứng minh $f(0)\leq 0$ và $f(1)\leq 0$
Ở trường hợp 2
$f(1)=ab^3+a^2c^2+b^2c^3-1\leq ab+bc+ca-1\leq \frac{(a+b+c)^2}{3}-1< 0$
....
- cool hunter, DavidVince, 19kvh97 và 1 người khác yêu thích
Nguyễn Đức Nghĩa tự hào là thành viên VMF
#11
Đã gửi 04-06-2013 - 19:35
Ta sẽ chứng minh $a^2b^3+b^2c^3+c^2a^3\leq 1$
Sau đây là 1 cách chứng minh ít ai nghĩ tới
Ta đưa biểu thức về hàm bậc nhất $f(a)=a(ab^3+a^2c^2)+b^2c^3-1$
Xét $ab^3+a^2c^2=0\Rightarrow b^2c^3-1\leq 0$ (Luôn đúng vì $b,c\leq 1$)
Xét $ab^3+a^2c^2\neq 0$
Suy ra đây là hàm đồng biến và $a\in [0,1]$
Cần chứng minh $f(0)\leq 0$ và $f(1)\leq 0$
Ở trường hợp 2
$f(1)=ab^3+a^2c^2+b^2c^3-1\leq ab+bc+ca-1\leq \frac{(a+b+c)^2}{3}-1< 0$
....
Không thể coi đây là 1 hàm bậc nhất được bởi đây là một hàm bậc $3$ theo bất kì biến $a,b,c$,bạn xem lại lời giải nhé
#12
Đã gửi 05-06-2013 - 15:03
@:Bofake
Hoàn toàn cố thể coi bạn à,bạn có thể tham khảo trên mạng nhiều,chắc hẳn cách này quá lạ so vs mọi người mà
- DavidVince yêu thích
Nguyễn Đức Nghĩa tự hào là thành viên VMF
#13
Đã gửi 05-06-2013 - 20:09
Không thể coi đây là 1 hàm bậc nhất được bởi đây là một hàm bậc $3$ theo bất kì biến $a,b,c$,bạn xem lại lời giải nhé
t nghĩ nếu coi là hàm bậc nhất biến a thì đươc chưs
Thà đừng yêu để giữ mình trong trắng
Lỡ yêu rôì nhất quyết phải thành công
#14
Đã gửi 05-06-2013 - 20:49
@:Bofake
Hoàn toàn cố thể coi bạn à,bạn có thể tham khảo trên mạng nhiều,chắc hẳn cách này quá lạ so vs mọi người mà
Mình biết cách này,và mình cũng có 1 tài liệu nói về nó,ta hoàn toàn có thể coi $a$ là biến còn $b,c$ là hằng số để ta dùng đạo hàm,thế nhưng nếu coi $a$ là biến số thì phải lấy bậc của nó làm bậc của hàm số,ở đây $a$ đang bậc $3$,bạn không thể cho biến $a$ vào hệ số và nói nó có bậc $1$.Để làm rõ hơn thì bạn có thể cho $b,c$ là 1 vài số bất kì,khi đó bạn sẽ thấy hàm số như thế nào.
---------------------------
P/S:Có phải ý tưởng của bạn giống cái này và cái này.
P/S 2 :Tài liệu đó mấy trang cuối có viết về cái này.
- cool hunter yêu thích
#15
Đã gửi 05-06-2013 - 20:54
Không, cái mình không phụ thuộc vào đạo hàm, cái hàm số bậc nhất $y=ax+b$ đôi khi bạn vẫn có thể "$a^2$" ..., bạn hiểu mình chứ
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Poseidont: 05-06-2013 - 20:55
- DavidVince yêu thích
Nguyễn Đức Nghĩa tự hào là thành viên VMF
1 người đang xem chủ đề
0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh