Chủ đề này có 4 trả lời

[nhjm nhung]

Cho biểu thức $P=a^{2}+b^{2}+c^{2}+d^{2}+ac+bd$ , trong đó $ad-bc=1$. Chứng minh:$P\geq \sqrt{3}$

[trauvang97]

Ta có: $(a^{2}+b^{2})(c^{2}+d^{2})=(ac)^{2}+(ad)^{2}+(bc)^{2}+(bd)^{2}+2abcd-2abcd=(ad-bc)^{2}+(ac+bd)^{2}$

 

Do: $ad-bc=1$ nên ta có: $(a^{2}+b^{2})(c^{2}+d^{2})=1+(ac+bd)^{2}$

 

Áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta có:

 

                 $(a^{2}+b^{2})+(c^{2}+d^{2})\geq2 \sqrt{(a^{2}+b^{2})(c^{2}+d^{2})}$

 

nên: $ a^{2}+b^{2}+c^{2}+d^{2}+ad+bc\geq 2\sqrt{(a^{2}+b^{2})(c^{2}+d^{2})}+ad+bc=2\sqrt{1+(ad+bc)^{2}}+ad+bc$

 

Đặt $ad+bc=x$ thì $P\geq 2\sqrt{1+x^{2}}+x$

 

Xét $P^{2}\geq 4(1+x^{2})+x^{2}+4x\sqrt{1+x^{2}}=(1+x^{2})+4x\sqrt{1+x^{2}}+4x^{2}+3= \left (\sqrt{1+x^{2}}+x \right )^{2} +3\geq 3$

 

Do đó: $P\geq \sqrt{3}$ do $P > 0$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi trauvang97: 03-06-2013 - 14:03

[Zaraki]

Xem tại đây .

 

 

Cách 2. $a^2+b^2+c^2+d^2+ac+bd - \sqrt{3}=a^2+b^2+c^2+d^2+ac+bd -\sqrt{3}(ad-bc)=$
$=\frac{1}{4}\left((2a+c-\sqrt3d)^2+(2b+\sqrt3c+d)^2\right)\geq0$.

Cách 3. Ta có $2\sqrt{(a^{2}+b^{2})(c^{2}+d^{2})}=2\sqrt{(ac+bd)^{2}+1}\leq (a^{2}+b^{2}+c^{2}+d^{2})$
Đặt $t=ac+bd$, do đó $S\geq 2\sqrt{t^{2}+1}+t \geq \sqrt{3}$.

 

 

 

 

Vì $(ad - bc)^2 + (ac + bd)^2=(a^2 + b^2)(c^2 + d^2)$ và $ad - bc = 1$ nên:
$1 + (ac + bd)^2 = (a^2 + b^2)(c^2 + d^2)$ (1)
$P=a^2 + b^2 + c^2 + d^2 + ac + bd$ áp dụng BĐT AM-GM:
$(a^2 + b^2)+(c^2 + d^2)\geq 2\sqrt{(a^2 + b^2)(c^2 + d^2)}$
Do đó $P\geq ac + bd + 2\sqrt{(a^2 + b^2)(c^2+d^2)}$ (2)
Từ (1) và (2)
Suy ra $P\geq ac + bd + 2\sqrt{1+(ac+bd)^2}$
Rõ ràng $P\geq 0$ vì $2\sqrt{1+(ac+bd)^2}> \left | ac +bd \right |$
Đặt $x = ac + bd$ thì$P \geq x+2\sqrt{1+x^2} > 0 \Leftrightarrow P^2\geq x^2 + 4(1+x^2) +4x\sqrt{1 + x^2} $
$=(1 + x^2) + 4x\sqrt{1 + x^2}+4x^2 + 3= (\sqrt{1+x^2}+2x)^2+3\geq 3\Rightarrow P\geq \sqrt{3}$

 

 

[viendanho98]

Bai nay con co 1 cau
tinh gia tri tong $(a+c)^2+(b+d)^2 $khi p=can3

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi viendanho98: 26-08-2013 - 00:19

[trandaiduongbg]

Bai nay con co 1 cau
tinh gia tri tong $(a+c)^2+(b+d)^2 $khi p=can3

Vì P$\geq \sqrt{3}$ Nên $P=\sqrt{3}$ khi và chỉ khi $\sqrt{1+x^2}=-2x$ $\Leftrightarrow$ $x=\frac{1}{\sqrt{3}}$ hay $ac+bd=\frac{1}{\sqrt{3}}$

$\Rightarrow$ $(a+c)^2+(b+d)^2=P+ac+bd=\sqrt{3}+\frac{1}{\sqrt{3}}$
Vậy....