Chủ đề này có 1 trả lời

[trungtran]

Cho x,y là các số thực  và $\left\{\begin{matrix} & x + \frac{1}{y} & \\ & y + \frac{1}{x} & \end{matrix}\right.$ là các số nguyên. Tìm tất cả số tự nhiên n sao cho $ x^{n}y^{n} + \frac{1}{x^{n}y^{n}}$ là số nguyên

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi trungtran: 03-06-2013 - 15:58

[Ha Manh Huu]

từ giả thiết ta có $(x+\frac{1}{y})(y+\frac{1}{x})\in Z\Rightarrow xy+\frac{1}{xy}\in Z$

đặt $S_{a}=x^{a}y^{a}+\frac{1}{x^{a}y^{a}}$

có$S_{1} \in Z\Rightarrow S_{1}^{2}-2\in Z\Rightarrow S_{2}\in Z$

 $ S_{3} = S_{1} .S_{2} -S_{1}$ suy ra $S_{3} \in Z$

chứng minh tương tự ta có $S_{n} \in Z $ với mọi $n$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Ha Manh Huu: 16-06-2013 - 16:15