Cho tam giác $ABC$ có $P=\sin \frac{A}{2}+\sin \frac{B}{2}+\sin \frac{C}{2}+\cot ^2\frac{A}{2}+\cot ^2\frac{B}{2}+\cot ^2\frac{C}{2}$
tìm Min $P$
tìm Min $P=\sum \sin \frac{A}{2}+\sum \cot ^2\frac{A}{2}
Bắt đầu bởi 19kvh97, 04-06-2013 - 21:36
#2
Đã gửi 04-06-2013 - 23:03
Phạm Hữu Bảo Chung
-
- Thành viên
-
- 1360 Bài viết
Thượng úy
Giải
Chú ý bất đẳng thức:
$0 < \sin{\dfrac{A}{2}} + \sin{\dfrac{B}{2}} + \sin{\dfrac{C}{2}} \leq \dfrac{3}{2}$
Ta có:
$P = \sin{\dfrac{A}{2}} + \sin{\dfrac{B}{2}} + \sin{\dfrac{C}{2}} + \cot^2{\dfrac{A}{2}} + \cot^2{\dfrac{B}{2}} + \cot^2{\dfrac{C}{2}}$
$\Leftrightarrow P = \sin{\dfrac{A}{2}} + \sin{\dfrac{B}{2}} + \sin{\dfrac{C}{2}}$ + $\dfrac{1}{\sin^2{\dfrac{A}{2}}} + \dfrac{1}{\sin^2{\dfrac{B}{2}}} + \dfrac{1}{\sin^2{\dfrac{C}{2}}} - 3$
Do A, B, C là số đo 3 góc của 1 tam giác nên ta luôn có $\sin\dfrac{A}{2}, \sin\dfrac{B}{2},\sin\dfrac{C}{2} > 0$
Nhận thấy:
$8\sin\dfrac{A}{2} + 8\sin\dfrac{A}{2} + \dfrac{1}{\sin^2\dfrac{A}{2}} \geq 3\sqrt[3]{64} = 12$
Do đó:
$P \geq 3.12 - 3 - 15(\sin\dfrac{A}{2} + \sin\dfrac{B}{2} + \sin\dfrac{C}{2}) \geq \dfrac{21}{2}$
Vậy $Min_P = \dfrac{21}{2}$. Dấu "=" xảy ra khi $A = B = C = \dfrac{\pi}{3}$
- 19kvh97 và thanhdotk14 thích
Thế giới này trở nên bị tổn thương quá nhiều không phải bởi vì sự hung bạo của những kẻ xấu xa mà chính bởi vì sự im lặng của những người tử tế 
0 người đang xem chủ đề
0 thành viên, 0 khách, 0 thành viên ẩn danh
