Cho a, b, c là ba số dương. Chứng minh rằng:
$\frac{a}{\sqrt{a^2+8bc}}+\frac{b}{\sqrt{b^2+8ac}}+\frac{c}{\sqrt{c^2+8ab}}\geq 1$
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi banhgaongonngon: 04-06-2013 - 22:35
Cho a, b, c là ba số dương. Chứng minh rằng:
$\frac{a}{\sqrt{a^2+8bc}}+\frac{b}{\sqrt{b^2+8ac}}+\frac{c}{\sqrt{c^2+8ab}}\geq 1$
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi banhgaongonngon: 04-06-2013 - 22:35
Sống đơn giản cho đời thảnh thơi
Cho a, b, c là ba số dương. Chứng minh rằng:
$\frac{a}{\sqrt{a^2+8bc}}+\frac{b}{\sqrt{b^2+8ac}}+\frac{c}{\sqrt{c^2+8ab}}\geq 1$
Theo bất đẳng thức $Holder$ ta có:
$\left ( \sum \frac{a}{\sqrt{a^{2}+8bc}} \right )^{2}.\sum \left ( a(a^{2}+8bc) \right )\geq \left ( a+b+c \right )^{3}$
$\Rightarrow VT\geq \frac{(a+b+c)^{3}}{a^{3}+24abc}$
$= \frac{a^{3}+b^{3}+c^{3}+3(a+b)(b+c)(c+a)}{a^{3}+b^{3}+c^{3}+24abc}\geq 1$
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi banhgaongonngon: 04-06-2013 - 22:39
Theo bất đẳng thức $Holder$ ta có:
$\left ( \sum \frac{a}{\sqrt{a^{2}+8bc}} \right )^{2}.\sum \left ( a(a^{2}+8bc) \right )\geq \left ( a+b+c \right )^{3}$
$\Rightarrow VT\geq \frac{(a+b+c)^{3}}{a^{3}+24abc}$
$= \frac{a^{3}+b^{3}+c^{3}+3(a+b)(b+c)(c+a)}{a^{3}+b^{3}+c^{3}+24abc}\geq 1$
bạn có thể không dùng bdt holder được không
Sống đơn giản cho đời thảnh thơi
Dễ có: $(a+b+c)^3-(a^3+b^3+c^3+24abc)=ab(a+b)+bc(b+c)+ca(c+a)-6abc=a(b-c)^2+b(c-a)^2+c(a-b)^2\geqslant 0 \Rightarrow (a+b+c)^3\geqslant a^3+b^3+c^3+24abc$
$VT=\sum_{cyc}\frac{a}{\sqrt{a^2+8bc}}=\sum_{cyc}\frac{a^2}{\sqrt{a}.\sqrt{a^3+8abc}}\geqslant \frac{(a+b+c)^2}{\sum_{cyc}\sqrt{a}.\sqrt{a^3+8abc}}\geqslant \frac{(a+b+c)^2}{\sqrt{(a+b+c)(a^3+b^3+c^3+24abc)}}\geqslant 1 $
Trong cuộc sống không có gì là đẳng thức , tất cả đều là bất đẳng thức
$\text{LOVE}(\text{KT}) S_a (b - c)^2 + S_b (c - a)^2 + S_c (a - b)^2 \geqslant 0\forall S_a,S_b,S_c\geqslant 0$
0 thành viên, 0 khách, 0 thành viên ẩn danh