Chủ đề này có 5 trả lời

[cuongtoanhoc]

cho a,b,c >0 /a+b+c=1

tìm min

$A=a^{3}+b^{3}+c^{3}-\frac{a^{2}+b^{2}+c^{2}}{3}$

[25 minutes]

cho a,b,c >0 /a+b+c=1

tìm min

$A=a^{3}+b^{3}+c^{3}-\frac{a^{2}+b^{2}+c^{2}}{3}$

Áp dụng AM-GM ta có $a^3+a^3+\frac{1}{27} \geq a^2$

Tương tự 2 bđt còn lại rồi cộng vào ta được 

                 $2(a^3+b^3+c^3)+\frac{1}{9} \geq a^2+b^2+c^2$

          $\Rightarrow a^3+b^3+c^3+\frac{1}{18} \geq \frac{a^2+b^2+c^2}{2}$

          $\Rightarrow a^3+b^3+c^3-\frac{a^2+b^2+c^2}{3} \geq \frac{a^2+b^2+c^2}{2}-\frac{a^2+b^2+c^2}{3}-\frac{1}{18}=\frac{a^2+b^2+c^2}{6}-\frac{1}{18}$

Áp dụng AM-GM lại có $a^2+b^2+c^2 \geq \frac{(a+b+c)^2}{3}=\frac{1}{3}$

       $\Rightarrow a^3+b^3+c^3-\frac{a^2+b^2+c^2}{3} \geq \frac{a^2+b^2+c^2}{6}-\frac{1}{18} \geq 0$

Dấu $=$ xảy ra khi $a=b=c=\frac{1}{3}$

[NgADg]

Cho $x, y \geq 1.CMR: \frac{1}{1+x^2}+\frac{1}{1+y^2}\geq \frac{2}{1+xy}$

[25 minutes]

Cho $x, y \geq 1.CMR: \frac{1}{1+x^2}+\frac{1}{1+y^2}\geq \frac{2}{1+xy}$

Quy đồng mẫu thức ta được bđt tương đương với 

             $(x^2+y^2+2)(1+xy) \geq 2(x^2+1)(y^2+1)$

   $\Leftrightarrow xy(x^2+y^2)+2xy \geq x^2+y^2+2x^2y^2$

   $\Leftrightarrow (xy-1)(x-y)^2 \geq 0$

Luôn đúng do $x,y \geq 1$

[andymurray44]

cho a,b,c >0 /a+b+c=1

tìm min

$A=a^{3}+b^{3}+c^{3}-\frac{a^{2}+b^{2}+c^{2}}{3}$

$(a+b+c)(a^{3}+b^{3}+c^{3})\geq (a^{2}+b^{2}+c^{2})^{2}\Rightarrow \sum a^{3}-\frac{\sum a^{2}}{3}\geq (\sum a^{2})^{2}-\frac{\sum a^{2}}{3}\geq 0$

[NgADg]

Bài này chỉ cm tương đương thôi

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi NgADg: 10-06-2013 - 23:08