Cho a,b,c là ba số thực dương thỏa mãn a+b+c=1 . CMR :
$\frac{10a}{1+a^2}+\frac{10b}{1+b^2}+\frac{10c}{1+c^2}\leq 9$
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi mrduc14198: 06-06-2013 - 21:16
Cho a,b,c >0 và a+b+c=1 : CMR $\frac{10a}{1+a^2}+\frac{10b}{1+b^2}+\frac{10c}{1+c^2}\leq 9$
Bắt đầu bởi mrduc14198, 06-06-2013 - 21:15
#2
Đã gửi 06-06-2013 - 22:53
25 minutes
-
- Hiệp sỹ
-
- 2795 Bài viết
Thành viên nổi bật 2015
Cho a,b,c là ba số thực dương thỏa mãn a+b+c=1 . CMR :
$\frac{10a}{1+a^2}+\frac{10b}{1+b^2}+\frac{10c}{1+c^2}\leq 9$
Ta sẽ chứng minh $\frac{a}{a^2+1} \leq \frac{6(3a-1)}{25}+\frac{3}{10}$
Trên là bất đẳng thưc1 biến, quy đồng mẫu thức ta được bđt tương đương là
$\frac{36a^3}{5}+\frac{3a^2}{5}-\frac{14a}{5}+\frac{3}{5} \geq 0$
$\Leftrightarrow (4a+3)(3a-1)^2 \geq 0$, luôn đúng do $a>0$
Tương tự ta cũng có $\frac{b}{b^2+1} \leq \frac{6(3b-1)}{25}+\frac{3}{10}$
$\frac{c}{c^2+1} \leq \frac{6(3c-1)}{25}+\frac{3}{10}$
Cộng 3 bđt trên lại ta được
$\sum \frac{a}{a^2+1} \leq \sum \frac{6(3a-1)}{25}+\frac{3}{10}=\frac{9}{10}$, do $a+b+c=1$
Hay $\sum \frac{10a}{a^2+1} \leq 9$
Dấu $=$ xảy ra khi $a=b=c=\frac{1}{3}$
#3
Đã gửi 08-06-2013 - 12:25
mrduc14198
-
- Thành viên
-
- 57 Bài viết
Hạ sĩ
Ta sẽ chứng minh $\frac{a}{a^2+1} \leq \frac{6(3a-1)}{25}+\frac{3}{10}$
Trên là bất đẳng thưc1 biến, quy đồng mẫu thức ta được bđt tương đương là
$\frac{36a^3}{5}+\frac{3a^2}{5}-\frac{14a}{5}+\frac{3}{5} \geq 0$
$\Leftrightarrow (4a+3)(3a-1)^2 \geq 0$, luôn đúng do $a>0$
Tương tự ta cũng có $\frac{b}{b^2+1} \leq \frac{6(3b-1)}{25}+\frac{3}{10}$
$\frac{c}{c^2+1} \leq \frac{6(3c-1)}{25}+\frac{3}{10}$
Cộng 3 bđt trên lại ta được
$\sum \frac{a}{a^2+1} \leq \sum \frac{6(3a-1)}{25}+\frac{3}{10}=\frac{9}{10}$, do $a+b+c=1$
Hay $\sum \frac{10a}{a^2+1} \leq 9$
Dấu $=$ xảy ra khi $a=b=c=\frac{1}{3}$
Anh ơi em cảm ơn anh , cách của anh hay quá !
Anh cho em hỏi là anh căn cứ vào đâu để tìm cái phân số $\frac{6(3a-1)}{25}$ mà ko là (3a-1) . Còn cái chỗ anh cộng thêm 3/10 thì e hiểu rồi .
Em mới lớp 9 , anh có cách nào khác ko ạ ( VD như áp dụng Côsi , bunhia , ....)
Em cảm ơn anh nhìu !
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Toc Ngan: 08-06-2013 - 19:19
0 người đang xem chủ đề
0 thành viên, 0 khách, 0 thành viên ẩn danh
