Chủ đề này có 1 trả lời

[iamshant]

Cho $y=x^{3}-3x^{2}-mx+2$

Tìm m để đường thẳng có 2 điểm cực trị A,B sao cho tam giác OAB cân tại O

[trangxoai1995]

Cho $y=x^{3}-3x^{2}-mx+2$

Tìm m để đường thẳng có 2 điểm cực trị A,B sao cho tam giác OAB cân tại O

Bài này không khó nhưng tính toán yêu cầu phải cẩn thận mới ra được kết quả.

Từ hàm số đã cho có: $y'=3x^2-6x-m=0$. Để tồn tại hai điểm cực trị thì $y'=0$ phải có hai nghiệm phân biệt: $\Delta' >0\Leftrightarrow 3m+9>0\Leftrightarrow m>-3$.

Vì ở đây phương trình $y'=0$ không có $\Delta$ là một số chính phương nên để thuận tiện cho việc tính toán, bạn thực hiện phép chia y cho y', lấy phần dư đó chính là phương trình đi qua hai điểm cực đại và cực tiểu. Phương trình đi qua hai điểm cực trị là: $y=\left ( -\frac{2}{3}m-2 \right )x+2-\frac{1}{3}m$

Giả sử $A\left ( x_1;\left ( \frac{-2}{3}m-2 \right )x_1-\frac{1}{3}m+2 \right )$

            $B(x_2;\left ( -\frac{2}{3}m -2\right )x_2-\frac{1}{3}m+2)$

Vì $x_1$; $x_2$ là nghiệm của phương trình  $y'=0$ nên theo định lý Vi-et ta có: $\left\{\begin{matrix} x_1+x_2=2 & \\ x_1.x_2=-\frac{m}{3} & \end{matrix}\right.$

Ta lại có:

$OA=\sqrt{x_1^2+[\left ( -\frac{2}{3}m-2 \right )x_1-\frac{1}{3}m+2]^2}$

$OB=\sqrt{x_2^2+[\left (- \frac{2}{3}m-2 \right )x_2-\frac{1}{3}m+2]^2}$

Mặt khác: $OA=OB$, phân tích, áp dụng theo vi-et, rút gọn ta được phương trình bậc 2 theo ẩn m: $2m^2+6m+3=0$