Chủ đề này có 5 trả lời

[suhao123]

Cho các số thực x,y,z thay đổi thoả xy+yz+xz=35.Tìm giá trị nhỏ nhất của

$$F=x^2 + 6y^2+ 22z^2$$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi E. Galois: 09-06-2013 - 22:04

[Zaraki]

Gợi ý. Bài này thì hệ số bất định thôi. 

[SPhuThuyS]

Gợi ý. Bài này thì hệ số bất định thôi. 

là phải làm sao, nói cụ thể đi

[maxolo]

Cho các số thực x,y,z thay đổi thoả xy+yz+xz=35.Tìm giá trị nhỏ nhất của

$$F=x^2 + 6y^2+ 22z^2$$

Có thể dùng phương pháp nhân tử Lagrange. Gọi $g(x,y,z) = xy+yz+zx -35$. Bài toán đưa về tìm cực trị trên đường cong cho bởi phương trình $g(x,y,z) = 0$. Ta giải hệ nhân tử Lagrange:

$$\nabla F = \lambda \cdot \nabla g, \quad g = 0$$

Như vậy, ta cần phải tính $\nabla F = \langle 2x, 12y, 44z \rangle$ và $\nabla g = \langle y+z, z+x, x+y \rangle$.

Ta được hệ ba phương trình

$$2x = \lambda (y+z), \quad 12y = \lambda (z+x), \quad 44z = \lambda (x+y)$$

Biến đổi đại số ta được

$$F = \lambda (xy+yz+zx) = 35\lambda$$

Từ đó suy ra $\lambda >0$. Mặt khác, dễ thấy

$$x(2+\lambda ) = y(12+\lambda) = z(44+ \lambda) = \lambda(x+y+z)$$

Từ đây giải ra được

$$x = \frac{\lambda}{2+\lambda} (x+y+z), \quad y = \frac{\lambda}{12+\lambda} (x+y+z), \quad z = \frac{\lambda}{44+\lambda} (x+y+z)$$

Cộng ba phương trình theo vế ta được

$$ \frac{\lambda}{2+\lambda}+ \frac{\lambda}{12+\lambda}+ \frac{\lambda}{44+\lambda}=1$$

Dễ thấy vế trái là hàm tăng theo $\lambda$ nên phương trình có không quá một nghiệm. Dễ dàng kiểm tra $\lambda = 4$ là nghiệm dương duy nhất. (Ta cũng có thể quy đồng mẫu số và đưa về phương trình bậc ba).

 

Từ đó $F = 35\lambda = 140$ là giá trị bé nhất.

[suhao123]

hic hic,em còn kém về bđt lắm,có ai có cách làm dễ hiểu, nội

 trong chương trình 12 đổ lại ko:(

[maxolo]

hic hic,em còn kém về bđt lắm,có ai có cách làm dễ hiểu, nội

 trong chương trình 12 đổ lại ko:(

Thử dùng bất đẳng thức Cauchy: Theo cách giải trên, ta thấy $F$ đạt min tại $x:y:z = 8:3:1$. Vậy ta chọn hệ số phù hợp trong BĐT Cauchy sao cho dấu bằng xảy ra tại đó:

$$9x^2 + 64y^2 \geqslant 2(3x)(8y) = 48xy, \quad x^2 + 64z^2 \geqslant 16xz, \quad y^2+ 9z^2 \geqslant 6yz$$

Từ đó

$$(9x^2 + 64y^2) + 3(x^2 + 64z^2) + 8(y^2+ 9z^2) \geqslant 48(xy+yz+zx) = 48 \times 35$$

Từ đó, tính vế trái của BĐT trên ta được 

$$12F \geqslant 48 \times 35.$$

Vậy $F\geqslant 140$.

 

Vấn đề ở đây là làm thế nào chọn được các hệ số phù hợp. Có một cách là gọi các hệ số đó là $t_1,\dots t_6$ rồi giải xem số nào phù hợp thôi. Đây có lẽ là phương pháp hệ số bất định?