Nhắc lại về đường thẳng Simson: Từ một điểm P trên đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC, ta lần lượt hạ các đường vuông góc xuống BC, CA, AB chúng tương ứng gặp BC, CA, AB tại D, E, F. Khi đó D, E, F thẳng hàng, và đường thẳng tạo bởi 3 điểm này gọi là đường thẳng Simson. Đảo lại cũng đúng: nếu P là điểm tùy ý trong mặt phẳng chứa tam giác ABC sao cho các điểm D. E, F nói trên thẳng hàng. Khi đó P thuộc đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC. Dưới đây là ba bài toán trong một lần tình cờ mình phát hiện và đã chứng minh thành công (các bạn thử nhé):
1) Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O;R). Quy ước đặt $S_{(D,\Delta ABC)}$ để chỉ đường thẳng Simson được dựng xuất phát từ điểm D đến 3 cạnh của tam giác ABC (D thuộc đường tròn và không trùng với 3 đỉnh của tam giác ABC). Xét 2 điểm D,E thuộc đường tròn (O) sao cho DE//BC (DE không trùng với BC). Gọi H là trực tâm của tam giác ABC. Chứng minh giao điểm của $S_{(D,\Delta ABC)},S_{(E,\Delta ABC)}$ cùng với A và H lập thành 3 điểm thẳng hàng.
2) Cho đường tròn (O;R), Vẽ đường kính AK. Trên một nửa đường (được chia bởi AK) lấy B,C sao cho AK//BC. Xét 2 điểm D,E trên đường tròn thoả DE//AK (DE không trùng với BC). Gọi giao điểm của $S_{(D,\Delta ABC)},S_{(E,\Delta ABC)}$ là H. Chứng minh AH là tiếp tuyến của (O).
3) Cho tam giác ABC nội tiếp (O;R). Các điểm D, E, F lần lượt là các điểm chính giữa của các cung nhỏ BC, CA, AB. Qua O dựng đường kính GH song song với FE (G,F thuộc cung nhỏ AB). $S_{(G,\Delta DEF)},S_{(H,\Delta DEF)}$ cắt nhau tại K. Chứng minh AK, CF, BE đồng quy.
