2 replies to this topic

[chuyentoan1998]

Cho $a,b,c$ là các số thực dương. Chứng minh rằng:

$\frac{a^2+bc}{a^2+(b+c)^2}+\frac{b^2+ca}{b^2+(c+a)^2}+\frac{c^2+ab}{c^2+(a+b)^2}\leq \frac{18(a^2+b^2+c^2)}{5(a+b+c)^2}$

[vutuanhien]

Cho $a,b,c$ là các số thực dương. Chứng minh rằng:

$\frac{a^2+bc}{a^2+(b+c)^2}+\frac{b^2+ca}{b^2+(c+a)^2}+\frac{c^2+ab}{c^2+(a+b)^2}\leq \frac{18(a^2+b^2+c^2)}{5(a+b+c)^2}$

BĐT đã cho tương đương với:

$1-\frac{a^2+bc}{a^2+(b+c)^2}+1-\frac{b^2+ca}{b^2+(c+a)^2}+1-\frac{c^2+ab}{c^2+(a+b)^2}\geq 3-\frac{18(a^2+b^2+c^2)}{5(a+b+c)^2}$

$\Leftrightarrow \sum \frac{b^2+c^2+bc}{a^2+(b+c)^2}\geq \frac{30(ab+bc+ca)-3(a^2+b^2+c^2)}{5(a+b+c)^2}$ (1)

Áp dụng BĐT AM-GM và BĐT Cauchy-Schwarz, ta có 

$VT(1)\geq \sum \frac{3(b+c)^2}{4\left [ a^2+(b+c)^2 \right ]}\geq \frac{12(a+b+c)^2}{4(3(a^2+b^2+c^2)+2(ab+bc+ca))}=\frac{3(a+b+c)^2}{3(a^2+b^2+c^2)+2(ab+bc+ca)}$

Do đó để chứng minh (1) ta chỉ cần chứng minh 

$\frac{(a+b+c)^2}{3(a^2+b^2+c^2)+2(ab+bc+ca)}\geq \frac{10(ab+bc+ca)-(a^2+b^2+c^2)}{5(a+b+c)^2}\Leftrightarrow 5(a+b+c)^4\geq \left [ 3(a^2+b^2+c^2)+2(ab+bc+ca) \right ]\left [ 10(ab+bc+ca)-(a^2+b^2+c^2) \right ]$

BĐT này đúng vì theo BĐT AM-GM, ta có $45VP=\left [ 50(ab+bc+ca)-5(a^2+b^2+c^2) \right ]\left [ 27(a^2+b^2+c^2)+18(ab+bc+ca) \right ]\leq \left [ \frac{22(a^2+b^2+c^2)+68(ab+bc+ca)}{2} \right ]^2=\left [ \frac{22(a+b+c)^2+24(ab+bc+ca)}{2} \right ]^2\leq \left [ \frac{22(a+b+c)^2+8(a+b+c)^2}{2} \right ]^2=225(a+b+c)^4=45VT$ 

(đpcm)

Edited by vutuanhien, 10-06-2013 - 18:43.

[Zaraki]

Do đó để chứng minh (1) ta chỉ cần chứng minh 

$\frac{(a+b+c)^2}{3(a^2+b^2+c^2)+2(ab+bc+ca)}\geq \frac{10(ab+bc+ca)-(a^2+b^2+c^2)}{5(a+b+c)^2}\Leftrightarrow 5(a+b+c)^4\geq \left [ 3(a^2+b^2+c^2)+2(ab+bc+ca) \right ]\left [ 10(ab+bc+ca)-(a^2+b^2+c^2) \right ]$

Bất đẳng thức này có thể dễ dàng chứng minh hơn nếu ta đặt $a^2+b^2+c^2=x,ab+bc+ca=y$ thì $x \ge y$.